[논문 리뷰] Spectral norm of a symmetric tensor and its computation

Shmuel Friedland, Li Wang|arXiv (Cornell University)|2018. 08. 11.

Tensor decomposition and applications참고 문헌 39인용 수 3

한 줄 요약

이 논문은 대칭 텐서의 스펙트럴 노름을 계산하기 위한 새로운 방법을 제안한다. 이 방법은 텐서의 그래디언트에서 유도된 다항사상의 고정점을 찾는 방식이다. $n=2$인 경우, 스펙트럴 노름은 $d$에 대해 다항식적으로 계산 가능하다. 고정된 $n>2$인 경우, 힐버트-스미스 노름에 대해 다항식적으로 계산 가능하여, 대칭 양자 상태의 기하학적 얽힘도를 효율적으로 계산할 수 있다.

ABSTRACT

We show that the spectral norm of a $d$-mode real or complex symmetric tensor in $n$ variables can be computed by finding the fixed points of the corresponding polynomial map. For a generic complex symmetric tensor the number of fixed points is finite, and we give upper and lower bounds for the number of fixed points. For $n=2$ we show that these fixed points are the roots of a corresponding univariate polynomial of degree at most $(d-1)^2+1$, except certain cases, which are completely analyzed. In particular, for $n=2$ the spectral norm of $d$-symmetric tensor is polynomially computable in $d$ with a given relative precision. For a fixed $n>2$ we show that the spectral norm of a $d$-mode symmetric tensor is polynomially computable in $d$ with a given relative precision with respect to the Hilbert-Schmidt norm of the tensor. These results show that the geometric measure of entanglement of $d$-mode symmetric qunits on $\mathbb{C}^n$ are polynomially computable for a fixed $n$.

연구 동기 및 목표

• 일般적으로 계산이 NP-어려운 대칭 텐서의 스펙트럴 노름을 효율적으로 계산할 수 있는 방법을 개발하는 것.
• 스펙트럴 노름과 유도된 다항사상의 고정점 사이의 연결 고리를 확립하여 대수적 계산을 가능하게 하는 것.
• 고정된 $n$에 대해, $d$-모드 대칭 텐서의 스펙트럴 노름이 힐버트-스미스 노름에 대해 $d$에 대해 다항식적으로 계산 가능함을 보이는 것.
• 이 방법을 사용하여 대칭 양자 상태의 기하학적 얽힘도를 계산하는 것, 특히 $d$-모드 대칭 큐비트와 큐트리플릿의 경우.
• 복소수 및 실수 경우의 고정점의 수와 구조를 분석하며, 특히 $n=2$ 및 $n=3$의 경우에 중점을 두는 것.

제안 방법

• 대칭 텐서와 관련된 동차다항식 $f$로부터 그래디언트 사상 $\mathbf{F}(\mathbf{x}) = \frac{1}{d}\nabla f(\mathbf{x})$를 정의한다.
• 고정점이 스펙트럴 노름의 임계점을 나타내는 반복 사상 $\mathbf{H}(\mathbf{x}) = \overline{\mathbf{F}(\overline{\mathbf{F}(\mathbf{x})})}$를 구성한다.
• 대수기하학을 사용하여, 일반적인 $f$에 대해 $\mathbf{H}$의 고정점 수가 중복도를 고려할 때 $ (d-1)^{2n} $임을 보인다.
• $n=2$인 경우, 문제를 최대 $ (d-1)^2 + 1 $차 다항식의 일변수 근을 구하는 것으로 줄여내어 다항식 시간 내에 계산 가능하게 한다.
• 구체적인 예제에서 고정점과 스펙트럴 노름을 계산하기 위해 수치대수기하 도구(예: Bertini)를 적용한다.
• 일반성과 유한하고 고립된 고정점을 보장하기 위해 초행렬식 다양체 $\mathrm{H}(d,n)$를 사용한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 스펙트럴 노름을 최적화가 아닌 다항사상의 고정점을 통해 계산할 수 있는가?
• RQ2 일반적인 대칭 텐서에 대해 사상 $\mathbf{H}$의 고정점 수는 얼마이며, 이는 텐서의 차수와 차원과 어떻게 관련되는가?
• RQ3 고정된 $n$에 대해, $\mathbb{C}^n$ 상의 $d$-모드 대칭 텐서의 스펙트럴 노름은 $d$에 대해 다항식적으로 계산 가능한가?
• RQ4 $\mathbf{F}$의 실수 고정점 수는 실수 스펙트럴 노름과 어떻게 관련되며, 이는 얽힘도 측정에 어떤 의미를 갖는가?
• RQ5 이 대수적 접근을 통해 대칭 양자 상태의 기하학적 얽힘도를 효율적으로 계산할 수 있는가?

주요 결과

• $n=2$인 경우, 고정점이 최대 $ (d-1)^2 + 1 $차 일변수 다항식의 근으로 줄어들기 때문에, 상대 정밀도가 주어진 상태에서 $d$에 대해 다항식적으로 계산 가능한 스펙트럴 노름을 가진다.
• 일반적인 복소수 대칭 텐서에 대해, $\mathbf{H}$의 고정점 수는 중복도를 고려할 때 $ (d-1)^{2n} $이며, 이러한 점들은 스펙트럴 노름을 계산하는 데 충분하다.
• $n=3$인 경우, 일반적인 실수 매개변수에 대해 $\mathbf{F}$의 실수 고정점 수는 $8 = (3-1)^3 $이다. 유일한 예외는 실수 고정점이 5개뿐인 딕키 상태 $\mathcal{S}(3,3)$이다.
• 딕키 상태 $\mathcal{S}(3,3)$, 즉 $f_{0,\sqrt{6}}$에 해당하는 상태는 최소 스펙트럴 노름 $ \frac{\sqrt{2}}{3} \approx 0.4714 $을 달성하여 최대 얽힘을 나타낸다.
• $n=2$인 경우, $t=1$, $\omega = \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2}i$인 $f_e$의 스펙트럴 노름은 고정점 해법을 통해 약 $0.5840$로 계산된다.
• 대칭 $4$-큐쿼드루플릿의 가족에서, $a = \frac{\sqrt{6}}{2}(\frac{\sqrt{2}}{2}+\frac{\sqrt{2}}{2}i)$, $b = \frac{\sqrt{3}}{2}(\frac{\sqrt{3}}{2}+\frac{1}{2}i)$일 때 노름 $\|f_{a,b}\|_{\sigma}$는 $0.4714$에 도달하며, 이는 $\|\mathcal{W} \otimes \mathcal{W}\|_{\sigma} = \frac{4}{9} \approx 0.4444$인 W-상태 곱의 노름을 초과한다.