[논문 리뷰] Spectral problems for non elliptic symmetric systems with dissipative boundary conditions

Ferruccio Colombini, Vesselin Petkov외 1명|arXiv (Cornell University)|2013. 03. 15.

Spectral Theory in Mathematical Physics참고 문헌 8인용 수 4

한 줄 요약

이 논문은 외부 영역에서 비타원형 대칭 쌍곡선계에 대해 소산 경계 조건을 갖는 경우의 스펙트럼 구조를 규명하며, 강제성 조건 하에 열린 왼쪽 반평면 내에서 생성자 스펙트럼이 유한 다중도를 갖는 고립된 고유값들로만 이루어져 있음을 증명한다. 이는 타원성과 보존성을 갖지 않는 시스템으로 스캐터링 이론과 스펙트럼 이론을 확장하며, 엄격하게 소산 경계 조건을 갖는 맥스웰 방정식을 포함한다.

ABSTRACT

This paper considers and extends spectral and scattering theory to dissipative symmetric systems that may have zero speeds and in particular to strictly dissipative boundary conditions for Maxwell's equations. Consider symmetric systems $\\partial_t - \\sum_{j=1}^n A_j \\partial_{x_j}$ in ${\\mathbb R}^n,\\: n \\geq 3$, $n$ odd, in a smooth connected exterior domain $\\Omega := {\\mathbb R}^n \\setminus \\bar{K}$. Assume that the rank of $A(\\xi) = \\sum_{j= 1}^n A_j \\xi_j$ is constant for $\\xi \ ot= 0.$ For maximally dissipative boundary conditions on $\\Omega :={\\mathbb R}^n \\setminus \\bar{K}$ with bounded open domain $K$ the solution of the boundary problem in ${\\mathbb R}^{+} \ imes \\Omega$ is described by a contraction semigroup $V(t) = e^{t G_b},\\:t \\geq 0.$ Assuming coercive conditions for $G_b$ and its adjoint $G_b^*$ on the complement of their kernels, we prove that the spectrum of $G_b$ in the open half plane $\\Re z < 0$ is formed only by isolated eigenvalues with finite multiplicities.

연구 동기 및 목표

• 비타원형이면서 자기수반성을 갖지 않는 소산 대칭 쌍곡선계로 스펙트럼 이론과 산산이론을 확장하는 것.
• 외부 영역에서 최대 소산 경계 조건을 갖는 시스템에 대해 생성자 $ G_b $ 의 스펙트럼 성질을 분석하는 것.
• 강제성 조건 하에 $ \operatorname{Re} z < 0 $ 내에서 $ G_b $ 의 스펙트럼이 고립된 고유값들로만 이루어져 있고 유한 다중도를 갖는다는 것을 확립하는 것.
• 시스템, 경계 조건, 영역의 소규모 변형에 대해 이산 스펙트럼의 안정성을 증명하는 것.
• 파동 방정식에 대한 결과를 엄격하게 소산 경계 조건을 갖는 맥스웰 방정식으로 확장하는 것.

제안 방법

• 외부 영역 $ \Omega = \mathbb{R}^n \setminus \overline{K} $, $ n \geq 3 $, 홀수에서 대칭계 $ \partial_t - \sum A_j \partial_{x_j} $ 의 초기 경계값 문제를 수립한다.
• 수축 반군 $ V(t) = e^{tG_b} $ 의 생성자 $ G_b $ 를 $ L^2(\Omega; \mathbb{C}^r) $ 에서 정의하며, 경계 조건 $ u(t,x) \in \mathcal{N}(x) $ 를 만족한다. 여기서 $ \mathcal{N}(x) $ 는 최대 소산성을 갖는다.
• 생성자 $ G_b $ 와 그 수반 $ G_b^* $ 의 핵의 직교 여부에 대해 강제성 추정 $ (H) $ 와 $ (H)^* $ 을 도입하여 공간 도함수를 제어한다.
• 절단 함수와 기본 해를 이용한 컴팩트성 추론을 통해 근사 고유함수의 전컴팩트성을 증명한다.
• 해석적 특성 $ (G_b - z)^{-1} $ 을 적용하고, $ \operatorname{Re} z < 0 $ 내의 근사 고유값이 실제로 고유값이어야 한다는 것을 보인다.
• 조건 $ (E) $ 를 만족하는 시스템으로 일반화하며, $ \operatorname{div} u = 0 $ 를 $ Qu = 0 $ 으로 대체하고, $ z^2 - G^2 + Q^*Q $ 의 기본 해를 사용한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 비타원형 대칭 쌍곡선계에 대해 소산 경계 조건을 갖는 생성자 $ G_b $ 의 스펙트럼 구조는 어떻게 되는가?
• RQ2 어떤 조건 하에 $ G_b $ 의 열린 왼쪽 반평면 내 스펙트럼이 고립된 고유값들로만 이루어져 있고 유한 다중도를 갖는가?
• RQ3 시스템, 경계 조건, 또는 영역의 소규모 변형에 대해 이산 스펙트럼은 어떻게 행동하는가?
• RQ4 파동 방정식에 대한 스펙트럼 결과를 엄격하게 소산 경계 조건을 갖는 맥스웰 방정식으로 확장할 수 있는가?
• RQ5 $ (H) $ 와 그 쌍대 조건 $ (H)^* $ 이 스펙트럼의 이산성과 안정성 확보에 어떤 역할을 하는가?

주요 결과

• $ G_b $ 의 열린 왼쪽 반평면 $ \operatorname{Re} z < 0 $ 내 스펙트럼이 강제성 추정 $ (H) $ 와 $ (H)^* $ 이 성립할 경우 고립된 고유값들로만 이루어져 있고 유한 다중도를 갖는다.
• 경계 위에 고유값이 존재하지 않는 한, 스펙트럼 프로젝터 $ \frac{1}{2\pi i} \oint_{|z - \hat{z}| = r} (z - G_b)^{-1} \, dz $ 는 변형에 대해 연속적으로 의존한다.
• 고유값은 변형 후 유한 개의 점으로 분리될 수 있으며, 이 수는 스펙트럼 프로젝터의 유한 랭크에 의해 제한된다.
• 엄격하게 소산 경계 조건을 갖는 맥스웰 방정식의 경우, 이산 스펙트럼은 소규모 변형에 대해 안정하다.
• 증명은 절단 기법을 통한 근사 고유함수의 전컴팩트성과 $ z^2 - \Delta $ 의 기본 해를 이용한 역행렬화에 기반한다.
• 결과는 $ \operatorname{div} u = 0 $ 가 $ Qu = 0 $ 으로 대체되는 조건 $ (E) $ 를 만족하는 시스템으로 일반화되며, $ z^2 - G^2 + Q^*Q $ 의 기본 해를 사용한다.