[논문 리뷰] Spectral properties of hierarchical lattices and iteration of rational maps

Christophe Sabot|arXiv (Cornell University)|2002. 01. 18.

Mathematical Dynamics and Fractals인용 수 3

한 줄 요약

이 논문은 유한 분기(self-similar) 자기유사 격자, 예를 들어 시에르핀스키 삼각형과 같은 경우에 대해 이산 라플라스 연산자의 스펙트럼 성질을 연구하기 위해, 컴acts한 복소다양체 위의 유리 자기사상(rational self-map)인 새로운 정규화 맵을 제안한다. 이 논문은 맵의 그린 전류(Green current)를 사용하여 상태 밀도의 명시적 공식을 유도하며, 맵의 부정확한 점(indeterminacy points)이 무한 격자 위에서 컴팩트하게 지지된 고유함수를 갖는 뉴먼-디리클레 고유값에 대응함을 연결한다.

ABSTRACT

In this text we are interested in spectral properties of discrete Laplace operators defined on lattices based on finitely-ramified self-similar sets. The basic example is the lattice based on the Sierpinski gasket. We introduce a new renormalization map which appears to be a rational self-map of a compact complex manifolds. We relate some characteristics of its dynamics with some characteristics of the spectrum of our operator. More specifically, we give an explicite formula for the density of states in terms of the Green current of the map, and we relate the indeterminacy points of the map with the so-called Neuman-Dirichlet eigenvalues which lead to eigenfunctions with compact support on the unbounded lattice. Depending on the asymptotic degree of the map we can prove drastic different spectral properties of the operator. Hence, this work aims at a generalization and a better understanding of the initial work of physisits Rammal and Toulouse on the Sierpinski gasket (cf [31], [30]).

연구 동기 및 목표

• 시에르핀스키 삼각형을 초월하여 자기유사 격자 위의 라플라스 연산자 스펙트럼 분석을 일반화하기.
• 정규화 맵의 역학적 특성과 연산자의 스펙트럼적 특성 간의 관계 이해하기.
• 맵의 부정확한 점을 통해 컴팩트하게 지지된 고유함수의 출현을 설명하기.
• 정규화 맵의 점 游도(asymptotic degree)가 스펙트럼 행동의 급격한 변화에 미치는 영향을 연결하기.
• 맵의 기하학적 불변량을 사용하여 상태 밀도에 대한 명시적 공식 제공하기.

제안 방법

• 유한 분기 자기유사 격자, 예를 들어 시에르핀스키 삼각형과 같은 경우에 이산 라플라스 연산자 정의하기.
• 콤���한 복소다양체 위의 유리 자기사상으로 작용하는 새로운 정규화 맵 구축하기.
• 이 맵의 역학을 이용해 라플라스 연산자의 스펙트럼 성질 분석하기.
• 라플라스 연산자와 관련된 그린 전류의 적분으로 상태 밀도 표현하기.
• 맵의 부정확한 점을 뉴먼-디리클레 고유값의 지표로 식별하기.
• 맵의 점 游도를 분석하여 스펙트럼의 정성적 변화 예측하기.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 자기유사 격자 위의 이산 라플라스 연산자의 스펙트럼 성질은 정규화 맵의 역학과 어떻게 관련이 있는가?
• RQ2 정규화 맵의 그린 전류와 상태 밀도 사이의 정밀한 관계는 무엇인가?
• RQ3 맵의 부정확한 점은 어떤 방식으로 컴팩트하게 지지된 고유함수를 갖는 고유값에 대응하는가?
• RQ4 맵의 점 游도는 스펙트럼 전체의 구조에 어떤 방식으로 影響을 미치는가?
• RQ5 람말과 툴루즈가 시에르핀스키 삼각형에서 최초로 발견한 결과는 이 역학적 프레임워크를 통해 일반화될 수 있는가?

주요 결과

• 상태 밀도는 정규화 맵의 그린 전류에 대해 명시적으로 표현된다.
• 유리 맵의 부정확한 점은 무한 격자 위에서 컴팩트하게 지지된 고유함수를 갖는 뉴먼-디리클레 고유값에 대응한다.
• 정규화 맵의 점 游도는 라플라스 연산자의 스펙트럼 성질에 대한 정성적 차이를 결정한다.
• 이 프레임워크는 람말과 툴루즈가 시에르핀스키 삼각형에 대해 이전에 얻은 결과를 일반화하고 심화한다.
• 연산자의 스펙트럼적 특성은 기저 유리 맵의 기하학적 및 역학적 불변량과 직접 연결된다.
• 이 방법은 다양한 유한 분기 자기유사 격자에서 스펙트럼 행동을 통합적으로 연구할 수 있는 접근법을 제공한다.