[논문 리뷰] Spectral statistics for the discrete Anderson model in the localized regime

François Germinet, Frédéric Klopp|arXiv (Cornell University)|2010. 06. 23.

Spectral Theory in Mathematical Physics참고 문헌 18인용 수 15

한 줄 요약

이 논문은 이산 앤더슨 모델의 국소화 영역에서, 스케일링된 고유값과 국소화 중심이 넓은 에너지 스케일 범위에서 국소적으로 균일한 포아송 통계를 보임을 규명한다. 핵심 결과는 고유값 간격 분포가 i.i.d. 랜덤 변수의 분포로 수렴하며, 이 분포의 밀도는 상태 밀도 함수에 의해 주어짐을 확인함으로써, 매끄러운 불순성 조건 하에서 이산 모델의 국소화 영역에서 포아송 스펙트럼 통계가 성립함을 입증한다.

ABSTRACT

We report on recent results on the spectral statistics of the discrete Anderson model in the localized phase. Our results show, in particular, that, for the discrete Anderson Hamiltonian with smoothly distributed random potential at sufficiently large coupling, the limit of the level spacing distribution is that of i.i.d. random variables distributed according to the density of states of the random Hamiltonian. This text is a contribution to the proceedings of the conference "Spectra of Random Operators and Related Topics" held at Kyoto University, 02-04/12/09 organized by N. Minami and N. Ueki.

연구 동기 및 목표

• 이산 앤더슨 해밀토니안의 국소화 영역에서 국소 스펙트럼 통계를 기술하는 것.
• 스케일링된 고유값 간격이 상태 밀도 함수에 의해 주어진 강도를 갖는 포아송 과정으로 수렴함을 확립하는 것.
• 다양한 에너지 스케일에서 스케일링된 고유값과 국소화 중심의 공동 통계를 분석하는 것.
• 국소 및 전역 에너지 영역에서 고유값 간격과 국소화 중심 간격의 극한 분포를 유도하는 것.
• 극한 고유값 간격 분포가 상태 밀도 함수와 동일한 밀도를 갖는 i.i.d. 랜덤 변수의 분포와 일치함을 증명하는 것.

제안 방법

• 주기적 경계 조건을 갖는 큰 상자 $\Lambda_L$에서 유한 체적 제한 $H_{\tau,\rho}$를 사용하여 고유값 통계를 연구하는 것.
• 지역 밀도를 정규화하고 수렴 분석을 가능하게 하기 위해 고유값을 $\xi_j = |\Lambda| \nu(E_0)(E_j - E_0)$ 방식으로 스케일링하는 것.
• 모든 에너지 간격에서 $|\Lambda|^{-\beta}$ 크기의 간격에 대해 균일한 포아송 수렴 정리를 적용하는 것. 여기서 $\beta > d/(d+2)$.
• 고유값 간격과 국소화 중심 간격의 극한 행동을 연구하기 위해 경험 분포를 정의하는 것.
• 국소화 중심의 번호 매기기 $x(E)$를 사용하여 간격을 정의하고, 큰 상자에서 유한한 수의 중심을 확보하는 것.
• 지정된 스케일링 조건 하에서 경험 분포의 확률적 수렴과 거의 확실한 수렴을 증명하는 것.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 이산 앤더슨 모델의 국소 고유값 통계는 국소화 영역에서 포아송 과정으로 수렴하는가?
• RQ2 스케일링된 고유값 간격은 극한에서 상태 밀도 함수에 따라 분포하는가?
• RQ3 스케일링된 고유값과 국소화 중심의 공동 통계는 독립적인 포아송 과정으로 수렴하는가?
• RQ4 국소화 영역에서 국소화 중심 간격의 극한 분포는 무엇인가?
• RQ5 고유값 간격과 국소화 중심 간격 분포는 에너지 영역의 국소적 및 전역적 특성에서 어떻게 행동하는가?

주요 결과

• 스케일링된 고유값은 르베그 강도를 갖는 포아송 과정으로 약하게 수렴하며, 이는 국소적으로 포아송 스펙트럼 통계가 성립함을 확인한다.
• 고유값 간격 분포는 상태 밀도 함수 $\nu(E_0)$와 동일한 밀도를 갖는 i.i.d. 랜덤 변수의 분포로 수렴한다.
• 스케일링된 고유값과 국소화 중심의 공동 통계는 크기가 $|\Lambda|^{-\beta}$인 에너지 간격에서 독립적인 포아송 과정으로 수렴한다.
• 국소화 중심 간격의 경험 분포는 $|\Lambda| \to \infty$일 때 확률적으로 균일하게 $e^{-s^d}$로 수렴한다.
• 무한 체계에서는 에너지 간격이 점으로 수렴할 때, $\nu(E_0) > 0$ 이면 고유값 간격 분포가 거의 확실히 $e^{-\nu(E_0)x}$로 수렴한다.
• 에너지 간격 $I_L$이 고정되어 있고 연속적인 밀도 $\nu$를 갖는 경우, 간격 분포는 스케일링된 지수 분포인 $g_{\nu,J}(N(J)x)$로 수렴한다.