[논문 리뷰] Spectral Triples on Carnot Manifolds

Stefan Hasselmann|arXiv (Cornell University)|2014. 01. 01.

Geometric Analysis and Curvature Flows참고 문헌 8인용 수 3

한 줄 요약

이 논문은 카르노 다양체 위에서 스펙트럴 트리플릿을 연구하여 카르노-카라테오도리 거리와 그레이드 차원을 탐지한다. 수평 디랙 연산자를 통해 콘네스의 공식을 이용해 거리를 탐지할 수는 있지만, 초등각성과 컴act한 해석자가 없음을 보여준다. 대신, 헤이센베르크 미분기하학을 사용하여 수평 라플라스 연산자로부터 스펙트럴 트리플릿을 구성하는 것을 제안한다. 가정 7.3.2가 성립할 경우, 고유값의 점근적 성질과 콘네스의 거리 공식을 통해 카르노-카라테오도리 거리에 대한 근사가 가능하다는 것을 보여준다.

ABSTRACT

We analyze whether one can construct a spectral triple for a Carnot manifold $M$, which detects its Carnot-Carathéodory metric and its graded dimension. Therefore we construct self-adjoint horizontal Dirac operators $D^H$ and show that each horizontal Dirac operator detects the metric via Connes' formula, but we also find that in no case these operators are hypoelliptic, which means they fail to have a compact resolvent. First we consider an example on compact Carnot nilmanifolds in detail, where we present a construction for a horizontal Dirac operator arising via pullback from the Dirac operator on the torus. Following an approach by Christian Bär to decompose the horizontal Clifford bundle, we detect that this operator has an infinite dimensional kernel. But in spite of this, in the case of Heisenberg nilmanifolds we will be able to discover the graded dimension from the asymptotic behavior of the eigenvalues of this horizontal Dirac operator. Afterwards we turn to the general case, showing that any horizontal Dirac operator fails to be hypoelliptic. Doing this, we develop a criterion from which hypoellipticity of certain graded differential operators can be excluded by considering the situation on a Heisenberg manifold, for which a complete characterization of hypoellipticity in known by the Rockland condition. Finally, we show how spectral triples can be constructed from horizontal Laplacians via the Heisenberg pseudodifferential calculus developed by Richard Beals and Peter Greiner. We suggest a few of these constructions, and discuss under which assumptions it may be possible to get an equivalent metric to the Carnot-Carathéodory metric from these operators. In addition, we mention a formula by which the Carnot-Carathéodory metric can be detected from arbitrary horizontal Laplacians.

연구 동기 및 목표

• 카르노-카라테오도리 거리와 그레이드 차원을 탐지할 수 있도록 카르노 다양체 위에 스펙트럴 트리플릿을 구성할 수 있는지 여부를 규명한다.
• 수평 디랙 연산자의 한계, 특히 초등각성이 없고 컴팩트한 해석자가 없음을 분석한다.
• 헤이센베르크 미분기하학을 사용하여 수평 라플라스 연산자로부터 스펙트럴 트리플릿을 대체로 구성하는 방법을 제안한다.
• 콘네스 거리가 카르노-카라테오도리 거리를 근사할 수 있는 조건을 조사한다.
• 그레이드 미분 연산자의 초등각성을 제거하기 위한 기준을 헤이센베르크 경우로 환원함으로써 설정한다.

제안 방법

• 콤���트 카르노 닐만이폴드에서 토러스 위의 디랙 연산자를 인플로우하여 자기수반 수평 디랙 연산자를 구성한다.
• 크리스찬 바르의 분해 방법을 수평 클리퍼드 번들의 분석에 적용하여 디랙 연산자의 핵을 분석한다.
• 초등각성이 없음에도 불구하고, 콘네스의 공식을 통해 수평 디랙 연산자가 카르노-카라테오도리 거리를 탐지할 수 있음을 보여준다.
• 헤이센베르크 미분기하학(베일즈-그라인어)을 사용하여 수평 라플라스 연산자로부터 스펙트럴 트리플릿을 구성한다.
• 초등각성과 컴팩트한 해석자를 복원하기 위해 정규화된 연산자 $ D^\theta_H = D_H + \theta P (\Delta_H)^{1/2} P $를 제안한다.
• 가정 7.3.2에 의존하며, 이는 균일한 유계성 $ \|[P,f]\| \leq C \cdot \mathrm{Lip}_{CC}(f) $를 암시하여 거리 근사 보장을 한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 카르노 다양체 위의 스펙트럴 트리플릿은 카르노-카라테오도리 거리와 그레이드 차원을 탐지할 수 있는가?
• RQ2 수평 디랙 연산자가 초등각성이 없는 이유는 무엇이며, 스펙트럴 트리플릿에 어떤 영향을 미치는가?
• RQ3 수평 라플라스 연산자로부터 구성된 스펙트럴 트리플릿이 카르노-카라테오도리 거리를 어떤 조건에서 근사할 수 있는가?
• RQ4 헤이센베르크 닐만이폴드에서 수평 디랙 연산자의 고유값 점근적 행동으로부터 그레이드 차원을 회복할 수 있는가?
• RQ5 카르노 다양체 위에 컴팩트한 해석자를 가진 스펙트럴 트리플릿을 구성할 수 있는 실용적인 방법이 있는가?

주요 결과

• 수평 디랙 연산자는 콘네스의 공식을 통해 카르노-카라테오도리 거리를 탐지할 수 있지만, 초등각성이 없고 컴팩트한 해석자가 없다.
• 헤이센베르크 닐만이폴드에서는 수평 디랙 연산자의 고유값 점근적 행동으로부터 그레이드 차원을 회복할 수 있다.
• 콤팩트 카르노 닐만이폴드에서 수평 디랙 연산자는 클리퍼드 번들의 분해를 통해 무한차원의 핵을 가진다.
• 정규화된 연산자 $ D^\theta_H = D_H + \theta P (\Delta_H)^{1/2} P $는 초등각성이 있으며 컴팩트한 해석자를 가진 스펙트럴 트리플릿을 정의한다.
• 가정 7.3.2가 성립할 경우, $ D^\theta_H $로부터 유도된 콘네스 거리는 $ \theta \to 0 $일 때 카르노-카라테오도리 거리로 수렴한다.
• 어떤 수평 라플라스 연산자이든 카르노-카라테오도리 거리를 탐지할 수 있는 공식을 제시한다. 이는 특정 연산자의 선택과 무관하다.