[논문 리뷰] Speed of convergence of Chernoff approximations for two model examples: heat equation and transport equation

Pavel S. Prudnikov|arXiv (Cornell University)|2020. 12. 17.

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한 줄 요약

이 논문은 분석적 추정과 수치 실험을 통해 두 가지 모델 편미분방정식인 열 방정식과 운반 방정식에 대한 Chernoff 근사의 수렴 속도를 분석한다. 수렴 속도가 초기 조건의 정규성에 따라 달라지며, 초기 자료가 생성자 도메인 외부에 있을 경우 수렴 속도가 느려지는 것으로 나타나며, 다양한 Chernoff 함수와 초기 조건에 대해 정량적 오차 추정과 그래픽적 증거를 제공한다.

ABSTRACT

Paul Chernoff in 1968 proposed his approach to approximations of one-parameter operator semigroups while trying to give a rigorous mathematical meaning to Feynman's path integral formulation of quantum mechanics. In early 2000's Oleg Smolyanov noticed that Chernoff's theorem may be used to obtain approximations to solutions of initial-value problems for linear partial differential equations (LPDEs) of evolution type with variable coefficients, including parabolic equations, Schrödinger equation, and some other. Chernoff expressions are explicit formulas containing variable coefficients of LPDE and the initial condition, hence they can be used as a numerical method for solving LPDEs. However, the speed of convergence of such approximations at the present time is understudied which makes it risky to employ this class of numerical methods. In the present paper we take two equations with known solutions (heat equation and transport equation) and study both analytically and numerically the speed of decay of the norm of the difference between Chernoff approximations and exact solutions. We also provide graphical illustrations of convergence and its rate. These model examples, being relatively simple, allow to demonstrate general properties of Chernoff approximations. The observations obtained build a base for the future employment of the approach based on Chernoff's theorem to the problem of construction of new numerical methods for solving initial-value problem for parabolic LPDEs with variable coefficients.

연구 동기 및 목표

• 변수 계수를 가진 선형 포물형 PDE에 대한 Chernoff 근사의 수렴 속도를 연구하기 위해.
• 초기 조건의 정규성이 수렴 속도에 미치는 영향을 평가하기 위해.
• 모델 방정식에 대한 수렴 속도의 분석적 추정과 수치적 검증을 제공하기 위해.
• 변수 계수를 가진 포물형 PDE에 대한 Chernoff 정리 기반 신규 수치 방법 개발의 기초를 마련하기 위해.

제안 방법

• 운반 방정식과 열 방정식에 적용된 Chernoff 근사의 정확한 해와 오차 한계를 유도한다.
• Chernoff 정리를 적용하여 초기값 문제의 해를 근사하는 연산자 값을 갖는 함수를 구성한다.
• C_0-반군 이론을 사용하여 진화 방정식의 해를 정의하고 수렴성을 분석한다.
• MATLAB을 사용하여 다양한 초기 조건과 Chernoff 함수를 가진 수치 실험을 수행한다.
• 로그-로그 그림과 비선형 회귀를 사용하여 수렴 차수를 추정한다.
• u_0(x) = \sin(x) 및 u_0(x) = \exp(-|x|)를 포함한 다양한 초기 조건에서 수렴 속도를 비교한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 부드럽고 비부드러운 초기 자료를 가진 열 방정식에 대해 Chernoff 근사의 수렴 속도는 무엇인가?
• RQ2 운반 방정식에서 Chernoff 함수의 선택이 수렴 속도에 미치는 영향은 무엇인가?
• RQ3 초기 조건이 생성자의 도메인에 있지 않을 경우 수렴 속도가 떨어지는가?
• RQ4 수치 실험을 통해 다양한 초기 조건에 대한 이론적 수렴 속도 추정치를 확인할 수 있는가?
• RQ5 관측된 수렴 속도를 바탕으로 주어진 초기 조건이 속하는 근사 부분공간의 차수는 무엇인가?

주요 결과

• 운반 방정식의 경우, Chernoff 근사는 $O(1/n)$ 속도로 수렴하며, 이 수렴 속도는 초기 조건의 정규성과 무관하다.
• u_0(x) = \sin(x)를 가진 열 방정식의 경우, 수렴 속도는 $O(1/n)$이며, 이는 이론적 추정과 일치한다.
• 생성자의 도메인에 속하지 않는 $u_0(x) = \exp(-|x|)$의 경우에도 수렴 속도는 여전히 $O(1/n)$를 유지하여, 덜 정규적인 초기 자료에 대해서도 근사 부분공간의 차수는 유지됨을 시사한다.
• 수치 실험을 통해 $\gamma = 1/2$, $1/3$, $1/6$인 다양한 Chernoff 함수에 대해 수렴 속도가 일관되게 $O(1/n)$로 유지됨을 확인하였다.
• 로그-로그 그림을 사용한 그래픽 분석은 $O(1/n)$ 수렴 속도를 확인하고, 회귀 기반으로 수렴 차수를 추정할 수 있다.
• 비부드러운 초기 조건에 대해서도 수렴 행동이 이론적 기대와 일치함을 보여주며, 이는 실용적 수치 방법에서 Chernoff 근사의 적용 가능성을 뒷받침한다.