[논문 리뷰] Speed of random walks, isoperimetry and compression of finitely generated groups

Jérémie Brieussel, Tianyi Zheng|arXiv (Cornell University)|2015. 10. 27.

Geometric and Algebraic Topology참고 문헌 52인용 수 17

한 줄 요약

이 논문은 지정된 함수의 渐近적 형태로 기하학적 및 확률적 불변량(속도, 엔트로피, 등주성, 복귀 확률, $L_p$-압축)을 갖는 유한 생성된 지수 성장 군을 구성함으로써 지수 성장 군에서 속도, 엔트로피, 등주성, 복귀 확률 및 $L_p$-압축에 대한 역문제를 해결한다. $p \in [1,2]$에 대해 $\mathbb{Z}$와의 와이어드 프로덕트의 $L_p$-압축 지수에 대한 공식을 유도하고, 암르의 속도-엔트로피 지수에 대한 동시 평가에 대한 추측을 증명하며, 기하학적 및 확률적 불변량을 제어하는 새로운 군의 클래스를 통해 기존에 알려진 비준거성의 아벨 군들에 대한 비등장성 분류에 새로운 증명을 제공한다.

ABSTRACT

We give a solution to the inverse problem (given a function, find a corresponding group) for large classes of speed, entropy, isoperimetric profile, return probability and $L_p$-compression functions of finitely generated groups of exponential volume growth. For smaller classes, we give solutions among solvable groups. As corollaries, we prove a recent conjecture of Amir on joint evaluation of speed and entropy exponents and we obtain a new proof of the existence of uncountably many pairwise non-quasi-isometric solvable groups, originally due to Cornulier and Tessera. We also obtain a formula relating the $L_p$-compression exponent of a group and its wreath product with the cyclic group for $p$ in $[1,2]$.

연구 동기 및 목표

• 주어진 함수에 대해, 그 함수의 渐近적 형태로 기하학적 및 확률적 불변량(속도, 엔트로피, 등주성, 복귀 확률, $L_p$-압축)을 갖는 유한 생성 군을 구성하는 것.
• 기존의 체적 성장 및 엔트로피에 대한 역결과를 지수 체적 성장 군에서 속도, 등주성 프로파일 및 $L_p$-압축까지 확장하는 것.
• 기본적인 루트 트리 기반의 순열 와이어드 프로덕트 프레임워크 외부에서 작동하는 새로운 구성 방법—램플라이터 군의 대각 프로덕트—제안.
• 암면 군에서 속도 및 엔트로피 지수의 동시 평가에 대한 암르의 추측을 증명하는 것.
• 코르누리에 및 테스라의 원래 결과에 기반하여, 기하학적 불변량을 제어하는 새로운 방법을 통해 비가산 수의 쌍별 비준거성 아벨 군의 존재를 새롭게 증명하는 것.

제안 방법

• 유한 램플라이터 군 $\mathbb{Z}_2 \wr D_{2n_s}^d$의 시퀀스를 사용하여, $\mathbb{Z}_2 \wr D_\infty^d$의 유한 몫들의 시퀀스를 기반으로 하여 대각 프로덕트로 군을 구성한다.
• 기저 그래프 $D_{2n_s}^d$에서의 랜덤 워크 역학을 활용하여, 방문한 정점 수와 램프 구성에 따라 램플라이터 군의 속도와 엔트로피를 제어한다.
• 나시 부등식과 대각선상 열핵 붕괴 추정치를 적용하여, 기저 랜덤 워크에서의 복귀 확률과 램프 방문 시간을 근사한다.
• 기저 워크가 방문한 서로 다른 정점 수와 램플라이터 군 내의 단어 길이 사이의 관계를 이용하여, $\sigma_d > 0$에 대해 $|X_{2t}| \geq \sigma_d t$라는 항등식을 활용한다.
• 암면 군에서 등변형 및 비등변형 $L_p$-압축 간의 등가성을 이용하여, $\Delta \wr \mathbb{Z}$의 $L_p$-압축 지수 공식을 도출한다.
• 함수 간의 곱셈 상수에 의한 등가성($f \simeq g$)을 정의하여 준거성에 영향을 받지 않는 渐近적 불변량을 정의한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 지수 성장 군에서 임의의 초선형 함수를 속도 지수로 실현할 수 있는가?
• RQ2 암면 군에서 암르의 추측에 따르면, 속도와 엔트로피 지수의 동시 행동은 실현 가능한가?
• RQ3 $p \in [1,2]$에 대해, $\Delta \wr \mathbb{Z}$의 $L_p$-압축 지수는 $\Delta$의 압축에 대해 어떻게 표현되는가?
• RQ4 지수 성장 군에서 등주성 프로파일과 복귀 확률에 대한 역문제는 해결 가능한가?
• RQ5 비가산 수의 쌍별 비준거성 아벨 군이 존재하는가, 그리고 이는 새로운 기하학적 불변량을 통해 증명될 수 있는가?

주요 결과

• 임의의 정규 함수 $f(n)$이 $n^{0.77}$과 $n$ 사이일 때, 이에 대해 체적 성장이 $e^{f(n)}$ 수준(곱셈 상수의 오차 범위 내)이 되는 군을 구성함으로써, 아벨 설정에서 체적 성장에 대한 역문제를 해결한다.
• 임의의 함수가 $\sqrt{n}$과 $n^\gamma$($\gamma < 1$) 사이일 때, 그 엔트로피 성장에 대해 곱셈 상수의 오차 범위 내에서 해당하는 군과 유한 지지 측도가 존재함을 확인하여, 암르와 비라그의 결과를 확인한다.
• 임의의 함수가 $n^{3/4}$와 $n^\gamma$($\gamma < 1$) 사이일 때, 그 속도 성장에 대해 곱셈 상수의 오차 범위 내에서 해당하는 군과 측도가 존재함을 보여, 속도에 대한 역문제를 해결한다.
• $p \in [1,2]$에 대해 $\Delta \wr \mathbb{Z}$의 $L_p$-압축 지수는 $\kappa_p(\Delta \wr \mathbb{Z}) = \frac{\kappa_p(\Delta)}{2}$로 주어지며, 여기서 $\kappa_p$는 $L_p$-압축 지수를 나타낸다.
• 논문은 암르의 추측을 증명하기 위해, 두 지수를 동시에 독립적으로 실현하는 군을 구성함으로써, 속도와 엔트로피 지수의 동시 평가에 대한 추측을 증명한다.
• 이 구성은 비가산 수의 쌍별 비준거성 아벨 군을 제공하며, 코르누리에와 테스라의 결과에 대한 새로운 증명을 제공한다.