[논문 리뷰] Spherical functions on affine Lie groups

Pavel Etingof, Igor Frenkel외 1명|ArXiv.org|1994. 07. 09.

Algebraic structures and combinatorial models참고 문헌 18인용 수 7

한 줄 요약

이 논문은 표현 이론적 방법을 사용하여 컴 pact 및 아핀 리 군 위의 벡터 값 함수를 수립한다. 이 함수들은 표현 간의 상호 연결 연산자의 가중 추적을 통해 구성되며, 라플라스 연산자의 반경 부분을 도출함으로써 완전히 통합 가능한 양자 시스템을 이룬다. 아핀 경우, 이러한 시스템은 Wess-Zumino-Witten conformal blocks와 비틀림 계수에서의 타원형 Calogero-Sutherland-Moser 해밀토니안과 연결되며, 양자 통합성은 Sugawara 연산자로부터 유도된다.

ABSTRACT

We describe vector valued conjugacy equivariant functions on a group K in two cases -- K is a compact simple Lie group, and K is an affine Lie group. We construct such functions as weighted traces of certain intertwining operators between representations of K. For a compact group $K$, Peter-Weyl theorem implies that all equivariant functions can be written as linear combinations of such traces. Next, we compute the radial parts of the Laplace operators of $K$ acting on conjugacy equivariant functions and obtain a comple- tely integrable quantum system with matrix coefficients, which in a special case coincides with the trigonometric Calogero-Sutherland-Moser multi-particle system. In the affine Lie group case, we prove that the space of equivariant functions having a fixed homogeneity degree with respect to the action of the center of the group is finite-dimensional and spanned by weighted traces of intertwining operators. This space coincides with the space of Wess-Zumino-Witten conformal blocks on an elliptic curve. We compute the radial part of the second order Laplace operator on the affine Lie group acting on equivariant functions, and find that it is a certain parabolic partial differential operator, which degenerates to the elliptic Calogero-Sutherland-Moser hamiltonian as the central charge tends to minus the dual Coxeter number (the critical level). Quantum integrals of this hamiltonian are obtained as radial part of the higher Sugawara operators which are central at the critical level.

연구 동기 및 목표

• 표현 이론적 방법을 사용하여 컴팩트 및 아핀 리 군 위의 동치 함수를 수립하는 것.
• 중심의 작용 하에서 고정된 동차도를 갖는 동치 함수 공간을 유한 차원으로 특성화하고, 이 공간이 가중 추적으로 생성된다는 것을 밝히는 것.
• 아핀 리 군 위의 두 번째 차수 라플라스 연산자의 반경 부분을 계산하고, 이와 통합 가능한 시스템과의 연결 고리를 밝히는 것.
• 이러한 동치 함수와 타원 곡선 위의 Wess-Zumino-Witten conformal blocks 사이의 대응 관계를 수립하는 것.
• 반경 라플라스 연산자가 타원형 Calogero-Sutherland-Moser 해밀토니안으로 분해되는 임계 수준에서의 행동을 분석하는 것.

제안 방법

• 군 K의 표현 간의 상호 연결 연산자의 가중 추적을 통해 동치 함수를 수립한다.
• Peter-Weyl 정리를 적용하여 컴팩트 K 위의 모든 동치 함수가 이러한 추적의 선형 조합으로 나타남을 보인다.
• K 위의 라플라스 연산자의 반경 부분을 계산하여, 행렬 계수를 갖는 완전히 통합 가능한 양자 시스템을 도출한다.
• 아핀 리 군의 경우, 고정된 중심 전하 차수를 갖는 동치 함수 공간이 유한 차원이며 가중 추적으로 생성됨을 증명한다.
• 아핀 K 위의 두 번째 차수 라플라스 연산자의 반경 부분을 포물형 편미분 연산자로 도출한다.
• 해밀토니안의 양자 통합성 요소를 고차 Sugawara 연산자의 반경 부분으로 식별하며, 이는 임계 수준에서 중심이 된다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 표현 이론을 활용하여 컴팩트 및 아핀 리 군 위의 동치 함수를 체계적으로 수립할 수 있는가?
• RQ2 아핀 리 군 설정에서 동치 함수 위에 작용하는 라플라스 연산자의 반경 부분은 무엇인가?
• RQ3 아핀 리 군 위의 반경 라플라스 연산자는 Calogero-Sutherland-Moser 모델과 같은 알려진 통합 가능한 시스템과 어떻게 관련이 있는가?
• RQ4 중심 전하가 아핀 리 군 위의 동치 함수의 구조를 결정하는 데 어떤 역할을 하는가?
• RQ5 이 맥락에서 Sugawara 연산자는 임계 수준에서 양자 통합성에 어떻게 기여하는가?

주요 결과

• 중심 작용 하에서 고정된 동차도를 갖는 아핀 리 군 위의 동치 함수 공간은 유한 차원이며, 상호 연결 연산자의 가중 추적으로 생성된다.
• 이러한 동치 함수들은 타원 곡선 위의 Wess-Zumino-Witten conformal blocks와 정확히 일치한다.
• 아핀 리 군 위의 두 번째 차수 라플라스 연산자의 반경 부분은 포물형 편미분 연산자이다.
• 임계 수준(중심 전하 = -h∨, 여기서 h∨는 쌍대 코크셔 수)에서 반경 라플라스 연산자는 타원형 Calogero-Sutherland-Moser 해밀토니안으로 분해된다.
• 이 해밀토니안의 양자 통합성 요소는 고차 Sugawara 연산자의 반경 부분으로서 나타나며, 이는 임계 수준에서 중심이 된다.
• 이 수립은 컴팩트 경우의 삼각 함수 Calogero-Sutherland-Moser 시스템을 일반화한, 행렬 계수를 갖는 완전히 통합 가능한 양자 시스템을 제공한다.