[논문 리뷰] Spherically symmetric black holes and affine-null metric formulation of Einstein's equations

Emanuel Gallo, Carlos N. Kozameh외 3명|arXiv (Cornell University)|2021. 07. 21.

Black Holes and Theoretical Physics참고 문헌 37인용 수 6

한 줄 요약

이 논문은 구형 대칭 블랙홀의 사건의 지평선에서 향후 영원한 빛선 무한대에 이르기까지 전역적으로 정규화된 좌표계를 구성하기 위한 두 가지 새로운 접근법을 제시한다. 첫 번째 방법은 아인슈타인-물질 방정식의 명시적 해를 통해 정규화된 빛선 좌표를 유도하는 것이다. 두 번째 방법은 아인슈타인 방정식의 애파인-빛선 형태를 사용하여 특성 초기값 문제를 해결하는 것이다. 핵심 기여는 이러한 정규 좌표계에서 리스너-노르트스트롬 블랙홀를 직접 유도함으로써, 지평선 근처와 무한대에서의 장 분석을 좌표 특이성 없이 일관되게 수행할 수 있도록 한 것이다.

ABSTRACT

The definition of well-behaved coordinate charts for black hole spacetimes can be tricky, as they can lead for example to either unphysical coordinate singularities in the metric (e.g. $r=2M$ in the Schwarzschild black hole) or to an implicit dependence of the chosen coordinate to physical relevant coordinates (e.g. the dependence of the null coordinates in the Kruskal metric). Here we discuss two approaches for coordinate choices in spherical symmetry allowing us to discuss explicitly "solitary" and spherically symmetric black holes from a regular horizon to null infinity. The first approach relies on a construction of a regular null coordinate (where regular is meant as being defined from the horizon to null infinity) given an explicit solution of the Einstein-matter equations. The second approach is based on an affine-null formulation of the Einstein equations and the respective characteristic initial value problem. In particular, we present a derivation of the Reissner-Nordstr\"om black holes expressed in terms of these regular coordinates.

연구 동기 및 목표

• 표준 블랙홀 계량식(예: 셔워즈실트, 에딩턴-필켈스타인)에서 지평선 근처의 좌표 특이성이 물리적 분석을 방해하는 문제를 해결하기 위해.
• 블랙홀의 지평선에서 향후 영원한 빛선 무한대에 이르기까지 암묵적 또는 특이적 의존성이 없는 전역적으로 정규화된 좌표계를 개발하기 위해.
• 지평선 근처에서 무한대 영역에 이르기까지 전체 시공간에서 물질 및 복사 장을 통합적으로 연구할 수 있는 프레임워크를 제공하기 위해.
• 좌표 변환을 통한 것이 아니라 아인슈타인 방정식의 직접 해를 통해 리스너-노르트스트롬 블랙홀에 대한 아이ザ악형 좌표계를 확장하기 위해.
• 정규화된 좌표 프레임워크 내에서 콫팩티피케이션과 수렴 기하학을 사용한 펜로즈 콤팩티피케이션 및 무한대 분석을 일관되게 적용할 수 있도록 하기 위해.

제안 방법

• 지평선(y=0)에서 영원한 빛선 무한대(y→∞)에 이르기까지 메트릭 성분이 유한하고 특이성이 없는 정규 빛선 좌표 w와 애파인 매개변수 y를 구성한다.
• 빛선에 沿한 애파인 매개변수에 따라 재구성된 아인슈타인 방정식의 아핀-빛선 메트릭 형태를 사용하여, 빛선 초면에서의 정규성을 보장한다.
• 아핀-빛선 형식을 사용하여 특성 초기값 문제를 해결함으로써, 빛선 초면에 주어진 데이터로부터 수치적 또는 해석적 시공간 해를 구성할 수 있도록 한다.
• 물질 소스를 고려한 아인슈타인 방정식의 해를 직접 구함으로써 리스너-노르트스트롬 해를 정규 (w,y) 좌표계에서 도출하며, 특이 차원에서의 좌표 변환을 피한다.
• 무한대에서의 정규성을 입증하기 위해, Ω = Υ/(4m) 인 conformal 인자 Ω를 사용하여 펜로즈 콤팩티피케이션을 적용하며, 여기서 Υ = 4m/y 이다. 이에 따라 conformal 메트릭 ˆgab = Ω²gab 가 무한대에서(Υ=0) 정규임을 보여준다.
• gwy = 1 이라는 기하학적 제약 조건을 사용하여 y 가 w=const 초면의 빛선 생성자에 沿한 올바른 애파인 매개변수임을 보장함으로써, 좌표계의 정규성을 확보한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 구형 대칭 블랙홀에 대해 지평선에서 향후 영원한 빛선 무한대에 이르기까지 항상 잘 정의되는 전역적으로 정규화된 좌표계를 구성할 수 있는가?
• RQ2 아인슈타인 방정식의 아핀-빛선 형식을 사용하여, 특이성이 없는 좌표계에서 리스너-노르트스트롬 메트릭과 같은 명시적 해를 어떻게 도출할 수 있는가?
• RQ3 구형 대칭 시공간에서 애파인 매개변수 y 와 표면적 반지름 r 사이의 관계는 무엇이며, 이를 통해 정규 차원을 구성할 수 있는가?
• RQ4 표준 빛선 좌표(예: 본디의 u 또는 크루스칼-제커레스)는 새로운 정규 (w,y) 좌표와 어떻게 관련되어 있으며, 물리적 분석에서 어떤 이점을 제공하는가?
• RQ5 특히 향후 영원한 빛선 무한대에서, 새로운 좌표를 사용하여 시공간의 conformal 구조를 일관되게 분석할 수 있는가?

주요 결과

• 리스너-노르트스트롬 블랙홀가 정규 (w,y) 좌표계에서 성공적으로 유도되었으며, 메트릭이 유리 함수로 표현되고 지평선이나 무한대에서 좌표 특이성이 없음을 확인하였다.
• conformal 메트릭 ˆgab = Ω²gab 가 무한대에서(Υ=0) 정규임을 입증하였으며, ˆgabdxadxb = −2dwdΥ −w²(dθ² + sin²θdφ²) + O(ℓ) 로 표현되어 콤팩티피케이션 방법의 타당성을 확인하였다.
• 좌표 쌍 (w,y) 는 지평선(y=0)에서 향후 영원한 빛선 무한대(y→∞)에 이르기까지 전체 시공간 영역을 덮는 진정한 전역 차원이며, 암묵적 의존성이나 특이성이 없다.
• 메트릭에서 gwy = 1 이 성립함으로써, y 가 w=const 초면의 빛선 생성자에 따라 올바른 애파인 매개변수임이 확인되었으며, 이는 좌표계의 정규성을 보장한다.
• conformal 메트릭이 무한대에서 유한하고 매끄럽기 때문에, 새로운 방법을 통해 복사장의 일관된 점점 수렴 분석이 가능해졌으며, I⁺ 에서도 성립함을 입증하였다.
• 이 프레임워크는 크루스칼-제커레스 또는 본디 좌표계에 대한 대안이 되며, 특히 수치 일반 상대성 이론과 지평선 근처의 장 이론 연구에 유용하다.