[논문 리뷰] Spherically symmetric empty space and its dual in general relativity

Naresh Dadhich|ArXiv.org|2000. 03. 07.

Black Holes and Theoretical Physics참고 문헌 4인용 수 5

한 줄 요약

이 논문은 일반 상대성 이론에서 정적 관측자와 영향을 받는 빛의 경로에 대한 에너지 밀도 및 수렴 밀도를 사용하여 구대칭 진공 시공간을 새로운 방식으로 특성화한다. 영역에서의 에너지 밀도(ρ), 영향을 받는 빛의 경로에 대한 수렴 밀도(ρₙ), 그리고 에너지 흐름(의 Pᶜ)이 모두 0이면 슈바르츠실트 해가 유일하게 결정되며, 리만 곡률의 활성 및 수동 전기 성분을 바꾸는 이중성 변환을 도입하여 진공 해를 이중 해로 변환함으로써 글로벌 몰입자나 스트링-dust 전하를 가진 새로운 종류의 시공간, 예를 들어 잠재적 웜홀이나 안티-디 시터 유사 기하학을 드러낸다.

ABSTRACT

In the spirit of the Newtonian theory, we characterize spherically symmetric empty space in general relativity in terms of energy density measured by a static observer and convergence density experienced by null and timelike congruences. It turns out that space surrounding a static particle is entirely specified by vanishing of energy and null convergence density. The electrograv-dual$^{1}$ to this condition would be vanishing of timelike and null convergence density which gives the dual-vacuum solution representing a Schwarzschild black hole with global monopole charge$^{2}$ or with cloud of string dust$^{3}$. Here the duality$^{1}$ is defined by interchange of active and passive electric parts of the Riemann curvature, which amounts to interchange of the Ricci and Einstein tensors. This effective characterization of stationary vacuum works for the Schwarzschild and NUT solutions. The most remarkable feature of the effective characterization of empty space is that it leads to new dual spaces and the method can also be applied to lower and higher dimensions.

연구 동기 및 목표

• 일반 상대성 이론에서 구대칭 빈 공간을 측정 가능한 에너지 및 수렴 밀도를 사용하여 물리적으로 직관적인 공변 특성화를 제공한다.
• 진공 조건 R_ab = 0이 에너지 및 수렴 밀도에 기반한 더 덜 제한적인 물리적 의미 있는 조건 집합으로 대체될 수 있는지 탐색한다.
• 리만 곡률의 활성 및 수동 전기 성분을 바꾸는 전환을 통해 진공 해와 그 이중 해 사이의 이중성을 수립한다.
• 이 특성화를 낮은 차원과 높은 차원으로 확장하여 웜홀 및 토폴로지 결함을 가진 블랙홀과 같은 새로운 해를 식별한다.
• 카우어 해가 중력자기 성분을 식별함으로써 유사하게 특성화될 수 있는지 조사한다.

제안 방법

• 정적 관측자에 대해 에너지 밀도 ρ = T_ab u^a u^b 를 정의하고, 시간적 및 영향을 받는 빛의 경로를 사용하여 수렴 밀도 ρ_t = (T_ab - ½T g_ab)u^a u^b (시간적) 및 ρ_n = T_ab v^a v^b (영향을 받는 빛의 경로)를 정의한다.
• 곡률 좌표계에서 슈바르츠실트 해를 유도하기 위해 효과적인 진공 조건 ρ = ρₙ = Pᶜ = 0 (Pᶜ = h^{ac}T_ab u^b = 0) 를 사용한다.
• 리만 곡률의 활성 및 수동 전기 성분을 바꾸는 전기중력 이중성 변환을 적용하여 리치 텐서를 에인슈타인 텐서로 매핑하고, ρ ↔ ρ_t 를 교환한다.
• 이중 진공 조건 ρ_t = ρₙ = Pᶜ = 0 를 유도하여 G^0_0 = G^1_1, G^2_2 = 0, G^0_1 = 0 인 에인슈타인 텐서 성분을 도출하며, 이는 글로벌 몰입자 전하를 가진 슈바르츠실트 블랙홀을 묘사한다.
• 이중 해를 분석하며, g_00 = (k + √(1 - 2GM/r))² 인 경우를 포함하여 상수 k를 가진 해를 고려한다. 이 경우는 음의 에너지 궤도를 가지며, k > 0 일 경우 웜홀 기하학을 나타낼 수 있는 점점 더 평탄한 시공간을 묘사한다.
• 리시너-노르트스트롬(ρ = ρ_t, ρₙ = Pᶜ = 0) 및 디 시터(ρ + ρ_t = 0, ρₙ = Pᶜ = 0) 해로의 프레임워크를 확장하고, 디 시터와 안티-디 시터 시공간 간의 이중성을 논의한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 일반 상대성 이론에서 구대칭 빈 공간이 정적 관측자에 대해 영역에서의 에너지 밀도, 영향을 받는 빛의 경로에 대한 수렴 밀도, 그리고 에너지 흐름이 모두 0일 경우에 유일하게 특성화될 수 있는가?
• RQ2 ρ = ρₙ = Pᶜ = 0 이 아니라 ρ_t = ρₙ = Pᶜ = 0 조건을 적용했을 때 어떤 물리적 시공간이 도출되는가?
• RQ3 리만 곡률의 활성 및 수동 전기 성분을 바꾸는 전기중력 이중성 변환은 진공 해와 그 이중 해 사이의 관계를 어떻게 설명하는가?
• RQ4 이 방법이 낮은 차원과 높은 차원으로 일반화되어 스트링-다스트나 글로벌 몰입자 전하를 가진 3차원 블랙홀 또는 고차원 슈바르츠실트 해와 같은 새로운 이중 시공간을 생성할 수 있는가?
• RQ5 카우어 해도 중력자기 성분을 식별함으로써 동일하게 특성화될 수 있는가? 추가로 필요한 조건은 무엇인가?

주요 결과

• 효과적인 진공 조건 ρ = ρₙ = Pᶜ = 0 은 리치 텐서 전체가 0이 되는 것을 요구하지 않고도 곡률 좌표계에서 슈바르츠실트 해를 유일하게 결정한다. 이 경우 g_00 = 1 - 2GM/r 이다.
• 이중 조건 ρ_t = ρₙ = Pᶜ = 0 은 글로벌 몰입자 전하 또는 스트링-다스트를 지닌 시공간을 유도하며, 이는 토폴로지 결함이 있는 슈바르츠실트 해에 해당한다.
• g_00 = (k + √(1 - 2GM/r))² 와 g_11 = -(1 - 2GM/r)^{-1} 인 이중 해는 점점 더 평탄한 시공간을 묘사하며, k > 0 일 경우 웜홀 기하학을 나타낼 수 있고, k < 0 일 경우 에르고스피어를 가진 블랙홀을 묘사할 수 있다.
• k < 0 일 경우, r_s = 2GM/(1 - k²) 에서 정적 표면과 r_h = 2GM 에서 사건의 지평선을 가질 수 있으며, 이는 k 와 관련된 에너지를 페놀리 프로세스로 추출할 수 있음을 의미한다.
• 리시너-노르트스트롬 해는 ρ = ρ_t, ρₙ = Pᶜ = 0 으로 묘사되며, 이는 추적 없는 스트레스-에너지 텐서에 해당한다. 반면, 디 시터 공간은 ρ + ρ_t = 0, ρₙ = Pᶜ = 0 으로 묘사되며, 이는 R_ab = Λ g_ab 를 의미한다.
• 이중성 변환은 디 시터(Λ > 0)와 안티-디 시터(Λ < 0) 시공간을 서로 바꾸며, 이는 이들이 전기중력 이중성 하에서 서로 이중적임을 나타낸다.