[논문 리뷰] Spike-adding and reset-induced canard cycles in adaptive integrate and fire models

Mathieu Desroches, Piotr Kowalczyk외 1명|arXiv (Cornell University)|2021. 01. 29.

stochastic dynamics and bifurcation참고 문헌 29인용 수 15

한 줄 요약

이 논문은 조각별 선형 임계 이하 동역학과 두 가지 복구 조건을 갖는 적응형 적분-화염(AIF) 모델을 연구하며, 임의의 정수 N에 대해 N번의 복구를 가진 붕괴 주기의 존재를 증명한다. 또한 N-복구 주기와 (N+1)-복구 주기 사이의 스파이크 추가 전이가 특히 N=2일 때 캐노드 주기로 조직화되어 있음을 이론적 분석과 수치 연속 기법을 통해 밝혀낸다. 이는 재구성된 두점경계값문제의 수치 연속 기법을 활용한 것이다.

ABSTRACT

We study a class of planar integrate and fire (IF) models called adaptive integrate and fire (AIF) models, which possesses an adaptation variable on top of membrane potential, and whose subthreshold dynamics is piecewise linear (PWL). These AIF models therefore have two reset conditions, which enable bursting dynamics to emerge for suitable parameter values. Such models can be thought of as hybrid dynamical systems. We consider a particular slow dynamics within AIF models and prove the existence of bursting cycles with $N$ resets, for any integer $N$. Furthermore, we study the transition between $N$- and $(N+1)$-reset cycles upon vanishingly small parameter variations and prove (for $N=2$) that such transitions are organised by canard cycles. Finally, using numerical continuation we compute branches of bursting cycles, including canard-explosive branches, in these AIF models, by suitably recasting the periodic problem as a two-point boundary-value problem.

연구 동기 및 목표

• 조각별 선형 임계 이하 동역학과 두 가지 복구 조건을 갖는 적응형 적분-화염(AIF) 모델에서 붕괴 동역학의 발생을 조사한다.
• 특정한 느린 동역학 가정 하에 임의의 정수 N에 대해 N번의 복구를 가진 한계주기의 존재를 증명한다.
• 특히 캐노드 주기가 이러한 전이를 조직하는 데 수행하는 역할을 중심으로 N-복구 주기와 (N+1)-복구 주기 사이의 스파이크 추가 전이를 분석한다.
• 주기 문제를 두 점 경계값 문제로 재구성함으로써 붕괴 주기, 특히 캐노드 폭발 분지까지 포함한 N-복구 주기 전체의 분지 계산을 위한 수치 연속 프레임워크를 개발하고 적용한다.
• 비연속적인 AIF 모델의 동역학을 매끄러운 사각파 붕괴자 모델과 비교하여, 캐노드 행동과 분기 구조에서의 유사점과 차이점을 부각한다.

제안 방법

• AIF 모델은 조각별 선형 임계 이하 동역학과 막전위 및 적응 변수에 대한 두 가지 복구 규칙을 갖는 하이브리드 동역학계로 수식화된다.
• 이론적 분석을 통해 느린 적응 동역학에 대한 가정 하에 N-복구 한계주기의 존재를 증명한다.
• N=2에서 N=3으로의 스파이크 추가 전이에 대해 기하학적 특수한 섭동 이론을 활용하여 전이를 조직하는 캐노드 주기의 존재를 증명한다.
• 주기 문제를 적절한 경계 조건과 정지 조건을 갖춘 2(N+2)차원의 두 점 경계값 문제로 재구성함으로써 수치 연속 기법을 적용한다.
• 이 방법은 AUTO 소프트웨어 패키지를 활용하여 N-복구 주기의 전체 분지, 특히 캐노드 폭발 영역까지도 계산할 수 있도록 한다.
• 이 접근법은 분기 탐지와 자동 분지 전환을 포함하며, 향후 개선된 탐지 및 자동화 기능을 위한 확장 계획이 수립되어 있다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 조각별 선형 동역학과 두 가지 복구 조건을 갖는 AIF 모델는 임의의 수의 복구 수 N을 가진 붕괴 주기를 지닐 수 있는가?
• RQ2 AIF 모델에서 N-복구 주기와 (N+1)-복구 주기 사이의 전이가 특히 N=2일 때 캐노드 주기로 조직되는가?
• RQ3 이 비연속적인 AIF 모델에서 캐노드 주기의 기하학적 및 동역학적 성질은 매끄러운 느린-빠른 시스템과 어떻게 비교되는가?
• RQ4 주기 문제를 두 점 경계값 문제로 재구성함으로써 수치 연속 기법이 비연속적이고 복구 기반의 IF 모델에 효과적으로 적용될 수 있는가?
• RQ5 복구에 의해 유도된 캐노드는 AIF 모델의 비활성 상태와 붕괴 상태에서의 스파이크 추가를 이해하는 데 어떤 함의를 지닌다?

주요 결과

• 적절한 느린 적응 동역학에 대한 가정 하에 임의의 정수 N에 대해 N-복구 붕괴 주기를 엄밀히 증명한다.
• N=2에서 N=3으로의 스파이크 추가 전이에 대해 조직하는 캐노드 주기의 존재를 증명함으로써, 이 AIF 모델에서 캐노드 유도 스파이크 추가가 존재함을 확인한다.
• 문제를 두 점 경계값 문제로 재구성함으로써 수치 연속 기법이 N-복구 한계주기 전체의 분지, 특히 캐노드 폭발 분지까지 성공적으로 계산한다.
• 캐노드 영역의 존재로 인해 계산된 N-복구 및 (N+1)-복구 주기 분지는 매개변수 공간에서 지수적으로 가까이 위치해 있으며, 이는 불연속적이지만 매우 체계적인 스파이크 추가 전이임을 시사한다.
• 비연속 프레임워크 내에서 두 가지 유형의 최대 캐노드가 존재하며, 임계 만곡면의 기하학적 구조와 복구의 존재로 인해 매끄러운 시스템과 다름을 보인다.
• AIF 모델의 동역학은 분기 구조와 임계 만곡면 기하학의 차이에도 불구하고, 캐노드가 전이를 조직하고 붕괴 형태를 형성하는 데서 매끄러운 사각파 붕괴자 모델과 강한 유사성을 보인다.