[논문 리뷰] Spin-dependent Bohm trajectories for Pauli and Dirac eigenstates of hydrogen

C. Colijn, Edward R. Vrscay|ArXiv.org|2003. 04. 29.

Quantum Mechanics and Applications참고 문헌 9인용 수 6

한 줄 요약

이 논문은 파울리 및 디랙 방정식을 사용하여 수소 원자 고유상태에 데 브로글리-보hm의 양자역학의 인과적 해석을 적용하며, 스핀에 의존하는 지도 법칙을 포함한다. 전자가 에너지 및 총 각운동량 고유상태일 경우, 일정한 각속도로 z축을 중심으로 원운동을 한다는 것을 보여주며, 비상대론적 근사에서 비상대론적 파울리와 상대론적 디랙 결과가 완전히 일치함을 보인다.

ABSTRACT

The de Broglie-Bohm causal theory of quantum mechanics is applied to the hydrogen atom in the fully spin-dependent and relativistic framework of the Dirac equation, and in the nonrelativistic but spin-dependent framework of the Pauli equation. Eigenstates are chosen which are simultaneous eigenstates of the energy H, total angular momentum M, and z component of the total angular momentum M_z. We find the trajectories of the electron, and show that in these eigenstates, motion is circular about the z-axis, with constant angular velocity. We compute the rates of revolution for the ground (n=1) state and the n=2 states, and show that there is agreement in the relevant cases between the Dirac and Pauli results, and with earlier results on the Schrodinger equation.

연구 동기 및 목표

• 디랙 방정식을 사용하여 데 브로글리-보hm 이론을 수소 원자의 상대론적이고 스핀에 의존하는 영역으로 확장한다.
• 스핀에 의존하는 지도 법칙을 파울리 및 디랙 수소 고유상태, 특히 에너지, 총 각운동량 및 그 z성분의 동시에 고유상태인 상태에 적용한다.
• 파울리 및 디랙 프레임워크에서 전자의 궤적의 각속도를 계산하고 비교하여 비상대론적 근사에서의 일관성을 검증한다.
• 수소 이온 상태에 대해 셰르레딩어, 파울리, 디랙 방정식에서 유도된 보혼 궤적 간의 일관성을 보여준다.
• 스핀이 없는 경우를 초월하여 스핀 1/2 시스템에서 보혼 궤적을 계산하는 체계적인 방법을 제공한다.

제안 방법

• 스핀에 의존하는 운동량을 고려한 데 브로글리-보hm 지도 관계를 채택: $\mathbf{p} = \nabla S + \nabla \log \rho \times \mathbf{s}$, 여기서 $\rho = \psi^\dagger \psi$.
• 입자 궤적을 계산하기 위해 디랙 전류 $\mathbf{j} = c \psi^\dagger \boldsymbol{\alpha} \psi$ 와 파울리 전류 $\mathbf{j} = \frac{\hbar}{2mi}(\psi^\dagger \nabla \psi - \psi \nabla \psi^\dagger) + \frac{\hbar}{2m} \nabla \times (\psi^\dagger \boldsymbol{\sigma} \psi)$ 를 사용한다.
• H, M, M_z의 고유상태라고 가정하고, 구면좌표계에서 지도 관계를 사용하여 애자각도 $\phi(t)$ 의 시간 진화를 구한다.
• 파울리 및 디랙 프레임워크에서 $n=1$ 및 $n=2$ 상태, 즉 $1s$, $2s$, $2p_0$, $2p_{1/2}$, $2p_{3/2}$ 상태의 각속도 $d\phi/dt$ 를 계산한다.
• 디랙 결과의 비상대론적 근사($c \to \infty$)를 취하고, 이전 연구에서 얻은 파울리 및 셰르레딩어 기반 결과와 비교한다.
• 파울리 및 디랙의 경우 스핀로를 포함한 수소 원자의 파동함수를 $\psi_{nlm}$ 기저로 사용하여 $\rho$ 와 $\mathbf{j}$ 를 명시적으로 평가한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 스핀과 상대론이 포함된 수소 고유상태에 대해 데 브로글리-보함 궤적이 원운동을 유지하는가?
• RQ2 디랙 프레임워크에서의 보혼 궤적의 각속도는 파울리 및 셰르레딩어 프레임워크와 어떻게 비교되는가?
• RQ3 디랙 기반 보혼 궤적의 비상대론적 근사는 파울리 및 셰르레딩어 결과와 일치하는가?
• RQ4 지시 법칙의 스핀에 의존하는 항이 실수 고유상태에서 궤도 운동을 어떻게 생성하는가?
• RQ5 보혼 궤적 방법은 스핀이 없는 경우에서 스핀 1/2 시스템으로 상대론적 양자역학에서 일관되게 확장될 수 있는가?

주요 결과

• 연구한 수소 고유상태 전부에 대해 전자는 일정한 $z$ 평면에서 원운동을 하며, 일정한 각속도 $d\phi/dt$ 를 가진다.
• $1s$ 상태의 각속도는 $\frac{d\phi}{dt} = \frac{\hbar}{m_e a r^2}$ 로서 비상대론적 셰르레딩어 결과와 일치한다.
• $n=2$ 상태의 경우 각속도는 $\theta$ 와 $r$ 에 따라 달라지며, 비상대론적 근사에서 $\frac{d\phi}{dt} = \frac{\hbar}{m_e a r^2} \left(3 - \frac{r}{2a}\right)$ 로 표현된다.
• 디랙 방정식의 비상대론적 근사는 정확히 파울리 결과와 일치하여 서로 다른 프레임워크 간의 일관성을 확인한다.
• $2p_{3/2}$ 상태의 경우 각속도는 $\frac{d\phi}{dt} = \frac{\hbar}{2m_e a r} \left( \frac{8\cos^2\theta - \sin^2\theta}{4\cos^2\theta + \sin^2\theta} \right)$ 로 주어지며, $c \to \infty$ 근사에서 파울리 형태로 축소된다.
• 스핀 고유상태인 경우(예: $1s$, $2s$, $2p_0$)에 파울리 궤적은 이전의 셰르레딩어 기반 보혼 궤적과 정량적으로 일치한다.