[논문 리뷰] Spin-liquid Phase in Spin-1/2 square J_1-J_2 Heisenberg Model: A Tensor Product State Approach

Ling Wang|arXiv (Cornell University)|2012. 04. 25.

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한 줄 요약

이 연구는 텐서 곱 상태(TPS)를 위한 클러스터 업데이트 알고리즘을 사용하여 정사각형 격자 위의 스핀-1/2 J₁-J₂ 허이젠베르크 모형을 조사하여 열역학적 한계에서 최대로 과도한 상황(0.5 < J₂/J₁ < 0.6)에서 스핀 액체 상을 발견하였다. 발화 결합 고체 순서의 부재와 비영인 위상적 얽힘 엔트로피의 존재는 위상적 순서를 확인하며, 높은 수치 정확도로 위상적 스핀 액체 기저 상태를 지지한다.

ABSTRACT

The ground state phase of spin-1/2 J_1-J_2 antiferromagnetic Heisenberg model on square lattice in the maximally frustrated regime (J_2 ~ 0.5J_1) has been debated for decades. Here we study this model by using a recently proposed novel numerical method - the cluster update algorithm for tensor product states (TPSs). The ground state energies at finite sizes and in the thermodynamic limit (with finite size scaling) are in good agreement with the state of art exact diagonalization study, and the energy differences between these two studies are of the order of 10^{-3}J_1 per site. At the largest bond dimension available D (D=9), we find a paramagnetic ground state without any valence bond solid order in the thermodynamic limit in the range of 0.5 < J_2/J_1 < 0.6, which implies the emergence of a spin-liquid phase. Furthermore, we investigate the topologically ordered nature of such a spin-liquid phase by measuring a nonzero topological entanglement entropy.

연구 동기 및 목표

• 정사각형 격자 위의 최대 과도한 J₁-J₂ 허이젠베르크 모형에서 기저 상태의 성질에 대한 오랫동안 지속된 논란을 해결하기 위해.
• J₂ ≈ 0.5J₁인 범위에서 스핀 액체 행동의 발생을 조사하기 위해.
• 위상적 얽힘 엔트로피를 계산하여 기저 상태가 위상적 순서를 갖는지 여부를 판단하기 위해.
• 새로운 TPS 기반 클러스터 업데이트 알고리즘을 사용하여 유한한 크기의 외삽을 통해 열역학적 한계에서 높은 정확도의 결과를 도출하기 위해.

제안 방법

• 유한한 크기의 정사각형 격자 위에서 J₁-J₂ 허이젠베르크 모형의 기저 상태를 효율적으로 탐색하기 위해 텐서 곱 상태(TPS)를 위한 클러스터 업데이트 알고리즘을 적용하였다.
• 유한한 크기의 스케일링을 적용하여 기저 상태 에너지를 열역학적 한계로 외삽하였으며, 상태 최고의 정밀 대각화 연구와 10⁻³J₁ 매 단위면적 이내에서 일치하였다.
• 수렴성과 결과의 안정성을 평가하기 위해 결합 차원 D를 D=9까지 체계적으로 증가시켰다.
• 기저 상태의 위상적 순서 존재 여부를 탐색하기 위해 위상적 얽힘 엔트로피를 계산하였다.
• 강한 상관관계를 가지며 과도한 상황에서 에너지 및 얽힘 성질을 정확하게 계산할 수 있도록 하였다.
• 변분 TPS와 클러스터 업데이트 기반의 방법을 조합하여 샘플링 효율성과 정확도를 향상시켰다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 정사각형 격자 위의 J₁-J₂ 허이젠베르크 모형은 최대 과도한 상황(J₂ ≈ 0.5J₁)에서 스핀 액체 기저 상태를 나타내는가?
• RQ2 0.5 < J₂/J₁ < 0.6 범위에서 기저 상태의 성격은 어떠한가, 특히 발화 결합 고체 순서의 유무에 관하여는?
• RQ3 위상적 스핀 액체 상에서 위상적 얽힘 엔트로피에 의해 위상적 순서의 증거가 존재하는가?
• RQ4 열역학적 한계에서 정밀 대각화 결과와 비교하여 TPS 기반 결과의 정확도는 어떠한가?

주요 결과

• 유한한 크기의 스케일링을 통해 외삽한 열역학적 한계에서의 기저 상태 에너지는 정밀 대각화 결과와 10⁻³J₁ 매 단위면적 이내에서 일치한다.
• D=9일 때 0.5 < J₂/J₁ < 0.6 범위에서 발화 결합 고체 순서가 없는 무자기 기저 상태가 발견되어 스핀 액체 상을 나타낸다.
• 비영인 위상적 얽힘 엔트로피는 스핀 액체 상에서 위상적 순서가 존재하는 강력한 증거를 제공한다.
• 가장 큰 결합 차원 D=9에서도 스핀 액체 상이 안정적이며, 이는 열역학적 한계에서의 존재를 지지한다.
• TPS를 위한 클러스터 업데이트 알고리즘은 강한 과도한 상황에서 높은 정확도의 결과를 도출할 수 있었으며, 최첨단 기준과 일치하였다.