[논문 리뷰] Spin models and boson sampling

Borja Peropadre, Alán Aspuru‐Guzik외 1명|arXiv (Cornell University)|2015. 09. 09.

Quantum Computing Algorithms and Architecture인용 수 5

한 줄 요약

이 논문은 장거리 XY 상호작용을 가진 스핀 모형의 단시간 양자 진동수와 보존 샘플링 사이의 직접적인 등가성을 확립하며, 이러한 스핀 시스템을 시뮬레이션하는 것이 보존 샘플링 문제를 해결하는 것만큼 어렵다는 것을 보여준다. 이 매핑을 통해 작은 양자 시뮬레이터와 양자 컴퓨터에서 보존 샘플링을 효율적으로 구현할 수 있으며, 후선택 및 노름 한계를 통한 오차 분석이 가능하고, 변동 거리 분석을 통해 문제의 계산 복잡도를 확인할 수 있다.

ABSTRACT

In this work we proof that boson sampling with $N$ particles in $M$ modes is equivalent to short-time evolution with $N$ excitations in an XY model of $2N$ spins. This mapping is efficient whenever the boson bunching probability is small, and errors can be efficiently postselected. This mapping opens the door to boson sampling with quantum simulators or general purpose quantum computers, and highlights the complexity of time-evolution with critical spin models, even for very short times.

연구 동기 및 목표

• 장거리 XY 상호작용을 가진 스핀 해밀토니안의 시간 진동수와 보존 샘플링 사이의 계산적 등가성을 확립하기 위해.
• 근접한 양자 시뮬레이터와 소형 양자 컴퓨터에서 보존 샘플링의 효율적이고 오차 제어 가능한 구현을 가능하게 하기 위해.
• 연산자 노름과 변동 거리 분석을 통해 매핑 오차를 분석하고, 이를 희박 조건(N ≪ M)과 연결하기 위해.
• 실제 물리적 제약 조건 하에서도 보존 샘플링의 복잡도가 스핀 모형에서 유지되는지 확인하기 위해.
• 직접 선형 광학 장치를 피하는 두 수준의 시스템(큐비트)을 단위 행렬로 연결하여 보존 샘플링의 물리적 실현을 제공하기 위해.

제안 방법

• 보존 샘플링을 모델링하기 위해 R이 하어-랜덤 유니터리 행렬인 스핀 해밀토니안 H = ∑_{i,j} σ⁺_{out,j} R_{ji} σ⁻_{in,i} + H.c.을 제안한다.
• M 모드에 N개의 광자를 가진 입력 포크 상태를 N개의 입력 스핀이 들뜬 상태로 매핑한다.
• 이 해밀토니안에 따른 시간 진동수 t = π/2에서 보존 샘플링 파동함수는 위상과 오차 항 이외에 동일하게 재현됨을 보여준다.
• 출력 분포에서 최대 한 개의 진동수만을 가진 포크 상태를 추출하기 위해 Fock 상태에 대한 투영 Q를 사용한다.
• 출력 분포 간의 총 변동 거리에 대한 오차를 상태 차이 δ = ψ - φ의 2-노름을 통해 분석한다.
• 임의 행렬 이론과 수치 시뮬레이션을 활용하여 QH_BS P_{1bpair}의 평균 연산자 노름을 추정하며, 하어 샘플링 하에서 ∥QH_BS P_{1bpair}∥₂ ∝ O(√N)임을 보인다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 장거리 XY 상호작용을 가진 스핀 시스템을 이용해 보존 샘플링을 물리적으로 실현할 수 있는가?
• RQ2 보존 샘플링의 복잡도와 다체 스핀 모형의 시간 진동수 간의 관계는 무엇인가?
• RQ3 스핀 모형 매핑의 오차는 시스템 크기에 따라 어떻게 스케일링되며, 이를 상한으로 제어할 수 있는가?
• RQ4 실제 조건 하에서도 스핀 모형이 보존 샘플링의 계산적 난이도를 유지하는가?
• RQ5 스핀 모형과 보존 샘플링의 출력 분포 간의 변동 거리에 대해 정량적 상한을 제공할 수 있는가?

주요 결과

• 장거리 XY 상호작용을 가진 스핀 모형 해밀토니안 H는 보존 샘플링과 계산적으로 등가적이며, 이는 양쪽 문제 모두 #P-난이도를 가짐을 의미한다.
• t = π/2에서 스핀 시스템의 시간 진동수는 위상 외에 오차 항을 제외하고 보존 샘플링 파동함수를 재현한다.
• 스핀 모형과 보존 샘플링의 출력 분포 간의 총 변동 거리는 O(N² / √M)로 상한이 둔다. 이는 M ≫ N²일 때 0으로 수렴한다.
• 수치 시뮬레이션은 연산자 노름 ∥QH_BS P_{1bpair}∥₂가 O(√N)로 스케일링됨을 확인하며, 이는 효율적 샘플링을 위한 M의 요구 조건을 M ∼ O(N³)으로 개선한다.
• 보존 샘플링이 효율적일 때마다 즉, N이 M보다 훨씬 작을 때 매핑이 성공한다.
• 두 수준의 시스템과 유니터리 결합을 통한 물리적 실현은 양자 시뮬레이터에서 보존 샘플링을 실현할 수 있는 실현 가능한 길을 제공하며, 오차 보정이 가능할 수 있다.