[논문 리뷰] Spinor modules for Hamiltonian loop group spaces

Yiannis Loizides, Eckhard Meinrenken외 1명|arXiv (Cornell University)|2017. 06. 22.

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology참고 문헌 25인용 수 6

한 줄 요약

이 논문은 적절한 해밀턴(loop) 군 공간의 접벡터다발을 스트롱하게 심플렉틱인 $LG$--equivariant 다발로 캐논리컬하게 완성하고, 그 위에 분할 클래스 내에서 $LG$-불변이고 호환 가능한 복소構조를 부여함으로써, $ℓ\operatorname{Spin}_{c}$-구조를 구성한다. 이로 인해 유한차원으로의 축소가 두 가지 방법을 통해 가능해지며, 하나는 $T$-불변 부분다양체로의 아벨화이고, 다른 하나는 준해밀턴 $G$-공간 대응을 통한 휘어진 구조이다. 결과적으로 유한차원 몫 위에 $LG$--equivariant $ℓ\operatorname{Spin}_{c}$-구조가 유도된다.

ABSTRACT

Let $LG$ be the loop group of a compact, connected Lie group $G$. We show that the tangent bundle of any proper Hamiltonian $LG$-space $\mathcal{M}$ has a natural completion $\overline{T}\mathcal{M}$ to a strongly symplectic $LG$-equivariant vector bundle. This bundle admits an invariant compatible complex structure within a natural polarization class, defining an $LG$-equivariant spinor bundle $\mathsf{S}_{\overline{T}\mathcal{M}}$, which one may regard as the Spin$_c$-structure of $\mathcal{M}$. We describe two procedures for obtaining a finite-dimensional version of this spinor module. In one approach, we construct from $\mathsf{S}_{\overline{T}\mathcal{M}}$ a twisted Spin$_c$-structure for the quasi-Hamiltonian $G$-space associated to $\mathcal{M}$. In the second approach, we describe an `abelianization procedure', passing to a finite-dimensional $T\subset LG$-invariant submanifold of $\mathcal{M}$, and we show how to construct an equivariant Spin$_c$-structure on that submanifold.

연구 동기 및 목표

• 무한차원이면서 약한 심플렉틱 성질을 지닌 접다발의 특성에도 불구하고, 적절한 해밀턴(loop) 군 공간 $ℓ\mathcal{M}$ 위에 $LG$-equivariant한 캐논리컬 $ℓ\operatorname{Spin}_{c}$-구조를 정의하는 것.
• 접다발 $T\mathcal{M}$ 위에 강력한 심플렉틱 구조가 존재하지 않는 문제를 해결하기 위해, 강력한 심플렉틱 2형식과 $LG$-불변 호환 복소구조를 갖는 완성다발 $\overline{T}\mathcal{M}$를 구성하는 것.
• 두 가지 다른 기하학적 축소 절차인 아벨화와 준해밀턴 축소를 통해, 무한차원 스핀어빌리티 모듈 $\mathsf{S}_{\overline{T}\mathcal{M}}$의 유한차원 유사체를 제공하는 것.
• 대응 공간 $\mathcal{N}$의 스핀어빌리티 모듈을 이용하여, $\mathcal{M}$과 관련된 유한차원 준해밀턴 $G$-공간 $M$ 위에 휘어진 $ℓ\operatorname{Spin}_{c}$-구조를 수립하는 것.

제안 방법

• 적절한 해밀턴 $LG$-공간 $\mathcal{M}$의 접다발 $T\mathcal{M}$이 궤도 방향에서 소볼레프 $\frac{1}{2}$-완성으로 $\overline{T}\mathcal{M}$로 캐논리컬하게 완성되어, 강력한 심플렉틱 $LG$-equivariant 벡터다발이 된다.
• 특정 분할 클래스 내에서 $LG$-불변이고 호환 가능한 복소구조 $J$가 $\overline{T}\mathcal{M}$ 위에 구성되며, 이는 호모토피를 제외하고 유일하며, 이에 따라 $\mathbb{Z}_2$-grade 스핀어빌리티 벡터다발 $\mathsf{S}_{\overline{T}\mathcal{M}}$가 잘 정의된다.
• 스핀어빌리티 모듈 $\mathsf{S}_{\overline{T}\mathcal{M}}$가 대응 공간 $\mathcal{N}$으로 당겨지며, 이는 $LG \times G$-행동이 자유롭고, 몫으로서 $\mathcal{M}$과 $M$을 갖는다. 이로 인해 $LG$-행동을 통한 축소가 가능해진다.
• 스핀 중심확장 $\widehat{LG}^{\operatorname{spin}}$을 사용하여, $q^*TM$ 위에 $LG$-equivariant한 $ℓ\operatorname{Spin}_{c}$-구조를 구성하며, 중심확장이 케이크-페테르슨 코ycle을 통해 비자명하게 작용한다.
• 이 구성은 유한차원 준해밀턴 $G$-공간 $M$ 위에 휘어진 $ℓ\operatorname{Spin}_{c}$-구조를 유도하며, 이에 대응하는 스핀어빌리티 모듈 $\mathsf{S}_{q^*TM}$이 존재하며, 동치 호모토피를 제외하고 캐논리컬하다.
• 아벨화 절차는 $\mathcal{M}$ 내에 $LG$-불변인 $T$-부분다양체 $\mathcal{M}_T \subset \mathcal{M}$를 구성하며, 스핀어빌리티 모듈의 제한을 통해 $\mathcal{M}_T$ 위에 $LG$-equivariant한 $ℓ\operatorname{Spin}_{c}$-구조를 수립한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 어떻게 하면 적절한 해밀턴(loop) 군 공간의 접다발을 강력한 심플렉틱 $LG$-equivariant 다발로 캐논리컬하게 완성할 수 있는가?
• RQ2 분할 클래스는 완성된 접다발 위에서 $LG$-불변 호환 복소구조를 선택하는 데 어떤 역할을 하는가?
• RQ3 무한차원 스핀어빌리티 모듈 $\mathsf{S}_{\overline{T}\mathcal{M}}$는 어떻게 $M$ 또는 $\mathcal{M}_T$ 위의 유한차원 $ℓ\operatorname{Spin}_{c}$-구조로 축소될 수 있는가?
• RQ4 스핀 중심확장 $\widehat{LG}^{\operatorname{spin}}$의 기하학적 및 위상수학적 의미는 $M$ 위의 휘어진 $ℓ\operatorname{Spin}_{c}$-구조 수립 과정에서 어떤가?

주요 결과

• 모든 적절한 해밀턴 $LG$-공간 $\mathcal{M}$의 접다발 $T\mathcal{M}$은 $LG$-equivariant한 캐논리컬 완성 $\overline{T}\mathcal{M}$을 가지며, 심플렉틱 형식 $\omega$가 $\overline{T\mathcal{M}}$ 위에 강력한 심플렉틱 2형식으로 연장된다.
• 완성다발 $\overline{T}\mathcal{M}$은 특별히 구분된 분할 클래스 내에서 $LG$-불변이고 호환 가능한 복소구조 $J$를 유일하게 지닌다. 이는 호모토피를 제외하고 유일하며, 이에 따라 $\mathbb{Z}_2$-grade 스핀어빌리티 벡터다발 $\mathsf{S}_{\overline{T}\mathcal{M}}$를 구성할 수 있다.
• 스핀어빌리티 모듈 $\mathsf{S}_{\overline{T}\mathcal{M}}$는 $\mathcal{M}$ 위에 $LG$-equivariant한 $ℓ\operatorname{Spin}_{c}$-구조를 정의하며, 이는 유한차원에서의 $ℓ\operatorname{Spin}_{c}$-구조의 자연스러운 무한차원 유사체이다.
• 대응 공간 $\mathcal{N}$을 통해 스핀어빌리티 모듈 $\mathsf{S}_{\overline{T}\mathcal{M}}$는 $\widehat{LG}^{\operatorname{spin}} \times G$-equivariant한 $ℓ\operatorname{Spin}_{c}$-구조를 $q^*TM$ 위에 유도하며, 이에 대응하는 스핀어빌리티 모듈 $\mathsf{S}_{q^*TM}$이 존재하며, 동치 호모토피를 제외하고 캐논리컬하다.
• 아벨화 절차는 $\mathcal{M}$ 내에 유한차원 $T$-불변 부분다양체 $\mathcal{M}_T \subset \mathcal{M}$를 유도하며, 이 위에 스핀어빌리티 모듈의 제한을 통해 $LG$-equivariant한 $ℓ\operatorname{Spin}_{c}$-구조를 수립한다.
• 중심확장 $\widehat{LG}^{\operatorname{spin}}$은 이중 코x터 수 $\mathsf{h}^\vee$의 수준에서 실현되며, 케이크-페테르슨 코ycle $\psi_{KP}$는 중심 작용을 $\psi_{KP}(\xi,\zeta) = 2\pi\mathsf{i}\,\mathsf{h}^\vee \int_{S^1} B^{\operatorname{basic}}(d\xi, \zeta)$를 통해 기록한다.