[논문 리뷰] Spinors in Higher Dimensional and Locally Anisotropic Spaces

Sergiu I. Vacaru|arXiv (Cornell University)|1996. 04. 05.

Advanced Differential Geometry Research참고 문헌 11인용 수 21

한 줄 요약

이 논문은 비선형성과 구분된(d-) 접속 및 메트릭 구조를 갖는 국소적으로 비등방성(la) 공간—일반화된 벡터 다발—에서 스핀터의 엄밀한 미분기하학을 확장한 펜로즈의 추상 인덱스 기법을 통해 개발한다. d-스핀터 접속, 곡률 및 휨을 수립하고, d-텐서 기법과의 관계를 설정하며, 일반적인 la-공간에서 중력장과 물질장의 역학 방정식을 유도함으로써, 이러한 비리만 기반에서 일관된 장 이론을 가능하게 한다. 이는 양자 중력 및 고차원 물리학 분야에 잠재적인 응용을 가진다.

ABSTRACT

The theory of spinors is developed for locally anisotropic (la) spaces, in brief la-spaces, which in general are modeled as vector bundles provided with nonlinear and distinguished connections and metric structures (such la-spaces contain as particular cases the Lagrange, Finsler and, for trivial nonlinear connections, Kaluza-Klein spaces). The la-spinor differential geometry is constructed. The distinguished spinor connections are studied and compared with similar ones on la-spaces. We derive the la-spinor expressions of curvatures and torsions and analyze the conditions when the distinguished torsion and nonmetricity tensors can be generated from distinguished spinor connections. The dynamical equations for gravitational and matter field la-interactions are formulated.

연구 동기 및 목표

• 국소적으로 비등방성(la) 공간—핀슬러, 라그랑주, 칼루자-클라인 공간을 일반화한 공간—에서 스핀터 장의 일관된 기하학적 프레임워크를 수립하기 위해.
• 비선형성과 d-접속에 호환되는 구분된(d-) 스핀터 구조를 도입함으로써, la-공간에서 스핀터를 정의하는 데 오랫동안 해결되지 않은 문제를 해결하기 위해.
• d-스핀터 접속, 곡률 및 휨을 수립하고, 이를 d-텐서 기법과 연관지켜 la-공간에서의 일관된 장 이론을 가능하게 하기 위해.
• d-공변 미분법을 사용하여 일반적인 la-공간에서 중력장과 물질장(스칼라, 프로카, 디рак, 게이지)의 공변 역학 방정식을 도출하기 위해.
• 국소적으로 비등방성 장 상호작용의 기하학적 기초를 제공함으로써, 양자 중력, 끈 이론 및 천체물리학 분야에서의 물리적 응용을 가능하게 하기 위해.

제안 방법

• 비선형성과 d-접속을 갖는 la-공간에 대해 펜로즈와 라인들러의 추상 인덱스 기법을 확장하고, 수평 및 수직 성분으로 분해된 d-텐서 및 d-스핀터 분해를 사용한다.
• 비선형(N-) 접속과 d-메트릭을 갖춘 다발 위에서 d-스핀터 접속을 구성하며, d-접속과 메트릭 구조와의 호환성을 보장한다.
• d-스핀터 곡률 및 휨의 표현식을 유도하고, 비메트릭성과 휨이 d-스핀터 접속으로부터 유래할 수 있는 조건을 분석한다.
• 비완전한(비적분 가능) la-기저에 적합한 비완전한 비틀림을 고려한 d-공변 변분법을 사용하여 la-공간에서의 물질장 및 게이지장의 장 방정식을 유도한다.
• d-기저 기반의 표준 변분 절차를 적용하여 에너지-운동량 d-텐서 및 d-벡터 전류를 수립한다.
• 특정 유형의 la-공간에서 d-스핀터 미분법의 확장으로서 등각 대칭성과 거의 자동평행 지도를 고려한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 비선형성과 구분된 접속을 갖는 국소적으로 비등방성 공간—핀슬러 및 칼루자-클라인 기하학을 일반화한 공간—에서 스핀터 구조를 엄밀하게 정의할 수 있는 방법은 무엇인가?
• RQ2 구분된 스핀터 접속의 기하학적 성질은 무엇이며, d-텐서 곡률, 휨 및 비메트릭성과의 관계는 어떠한가?
• RQ3 la-공간에서 d-휘함수 및 비메트릭성 텐서가 d-스핀터 접속으로부터 유도될 수 있는 조건는 무엇인가?
• RQ4 d-공변 기법을 사용하여 일반적인 la-공간에서 중력장과 물질장의 일관된 역학 방정식을 어떻게 도출할 수 있는가?
• RQ5 d-스핀터 미분법이 양자 중력 및 끈 이론에서 고차원 및 국소적으로 비등방성 배경에서 물리 이론을 가능하게 하는 데서 수행하는 역할은 무엇인가?

주요 결과

• 국소적으로 비등방성 공간에 대해 Penrose의 2-스핀터 미분기하학을 고차원 비리만 기반으로 일반화한 일관된 d-스핀터 미분기하학이 수립되었다.
• 구분된 스핀터 접속이 특정 기하학적 조건 하에서 d-휘함수 및 비메트릭성 텐서를 생성함을 보여주었으며, 이는 이러한 구조의 기하학적 기원을 제공한다.
• d-스핀터 기법은 수평 및 수직 부분공간의 차원에서 8배 주기성을 보이며, 표준 클리포드 대수학의 주기성과 유사하다.
• d-공변 변분법을 사용하여 스칼라, 프로카, 디рак 및 게이지 장의 역학적 장 방정식을 도출하였으며, 에너지-운동량 d-텐서 및 d-전류는 d-기저 기반에서 표현되었다.
• 이 형식은 제한된 유형의 la-공간에서만 등각 대칭성을 지원하며, 보다 광범위한 적용을 위해 거의 자동평행 지도로의 확장을 필요로 한다.
• 이 형식은 일반적인 la-공간에서 물리 모델을 구성하기 위한 기하학적 기초를 제공하며, 양자 중력, 고차원 장 이론 및 초끈 모델에 잠재적인 응용이 가능하다.