[논문 리뷰] Split Property and Fermionic String Order

Taku Matsui|arXiv (Cornell University)|2020. 03. 30.

Topological Materials and Phenomena참고 문헌 7인용 수 6

한 줄 요약

이 논문은 CAR 대수와 조르당-바이어너 전환을 통해 일차원 페르미온 시스템에서 갭이 있는 기본 상태의 분할 성질을 수립하고, 페르미온 스트링 오더의 수학적 기초를 명확히 한다. 이는 기본 상태의 ${\bf Z}_2$ 지수로 스트링 오더의 유무를 결정함을 증명한다: 지수 $+1$ 은 스트링 오더 없음과 순수한 파울리 스핀 기본 상태를 의미하고, 지수 $-1$ 은 스트링 오더 존재와 비순수, 디지너레이트된 기본 상태를 의미하며, 이는 위상수학적 불변량과 장거리 양자 상관관계를 연결한다.

ABSTRACT

We show split property of gapped ground states for Fermion systems on a one-dimensional lattice and clarify mathematical meaning of string order of fermions.

연구 동기 및 목표

• 일차원 페르미온 시스템에서 CAR 대수로 묘사된 갭이 있는 기본 상태에 대한 분할 성질을 수립하기 위해.
• 준일차원 페르미온 시스템에서 스트링 오더의 수학적 의미를 명확히 하기 위해.
• 조르당-바이어너 전환을 통해 기본 상태의 ${\bf Z}_2$ 지수와 스트링 오더의 유무를 연결하기 위해.
• 분할 성질이 무한차원 보조 공간을 갖는 행렬 곱 상태 표현을 암시함을 보여주기 위해, 대칭성을 유지한다.

제안 방법

• 분석은 분리 가능한 힐베르트 공간 $K$ 위에서의 자기쌍대 CAR 대수의 프레임워크 내에서 수행되며, 켤레 유니터리 인보리션 $J$와 함께 왼쪽 및 오른쪽 부분공간 $K_L \oplus K_R$로 분해된다.
• 분할 성질은 $\mathfrak{A}$와 자동형 $\Theta_-$ 를 실현하는 유니터리 $T$로 생성된 교차곱 $\hat{\mathfrak{A}} = \mathfrak{A} \rtimes {\bf Z}_2$ 를 통해 연구된다.
• 왼쪽 및 오른쪽 부분계의 통계적 독립성을 모델링하기 위해 ${\bf Z}_2$-등급 곱 상태 $\psi_L \otimes_{{\bf Z}_2} \psi_R$ 가 구성된다.
• 조르당-바이어너 전환은 페르미온 시스템을 스핀 시스템으로 매핑하여 스핀 표현에서 스트링 오더를 분석할 수 있게 한다.
• ${\bf Z}_2$ 지수 $\mathrm{ind}_{{\bf Z}_2}\psi = \pm 1$ 는 기본 상태를 분류하는 데 사용되며, $+1$ 은 장거리 오더 없이 순수한 상태를, $-1$ 은 스트링 오더가 존재하는 비순수 상태를 의미한다.
• 스펙트럼 분석과 GNS 표현을 통해 스핀 기본 상태 $\psi^P$ 의 비순수성은 장거리 스트링 오더 존재를 암시함을 보였다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 CAR 대수로 묘사된 일차원 페르미온 시스템에서 갭이 있는 기본 상태에 대해 분할 성질이 어떻게 나타나는가?
• RQ2 페르미온 기본 상태의 ${\bf Z}_2$ 지수와 스트링 오더 존재 여부 사이의 정확한 수학적 관계는 무엇인가?
• RQ3 조르당-바이어너 전환은 분할 성질을 유지하는가? 그리고 장거리 양자 상관관계와의 관계는 무엇인가?
• RQ4 스트링 오더의 유무 또는 부재는 해당 파울리 스핀 기본 상태의 순수성으로 특징지어질 수 있는가?
• RQ5 ${\bf Z}_2$ 등급과 자동형 $\Theta_-$ 는 대수의 구조와 위상적 오더의 발생에 어떻게 영향을 미치는가?

주요 결과

• 일차원 격자 위의 페르미온 시스템에서 갭이 있는 기본 상태에 대해 분할 성질이 성립하며, 이는 무한차원 보조 공간을 갖는 행렬 곱 상태 표현을 암시한다.
• ${\bf Z}_2$ 지수 $\mathrm{ind}_{{\bf Z}_2}\psi = +1$ 는 장거리 오더 없이 순수한 갭이 있는 기본 상태를 나타내며, 스핀 표현에서 스트링 오더 없음도 의미한다.
• ${\bf Z}_2$ 지수 $\mathrm{ind}_{{\bf Z}_2}\psi = -1$ 는 비순수한 기본 상태를 나타내며, 이는 스핀 시스템에서 스트링 오더 존재를 암시한다.
• 스트링 오더는 국소적 홀수 연산자 $Q_1, Q_2 \in \mathfrak{A}^{P(-)}_{\text{loc}}$ 에 대해 비영인 극한 $\lim_{k\to\infty} \psi^P(Q_1 \tau_k(Q_2)) \neq 0$ 으로 수학적으로 특징지어진다.
• 역으로, 스트링 오더가 존재한다면 $\mathrm{ind}_{{\bf Z}_2}\psi = -1$ 이고, 스핀 기본 상태 $\psi^P$ 는 순수가 아니다.
• 분할 성질은 왼쪽 부분계 대수의 중심이 유형 I임을 보장하며, 이는 $\Theta$-불변성 하에서도 유지되어 지수의 위상적 성격을 확인한다.