[논문 리뷰] Splitting methods for SDEs with locally Lipschitz drift. An illustration on the FitzHugh-Nagumo model

Evelyn Buckwar, Adeline Samson외 2명|arXiv (Cornell University)|2021. 01. 04.

Stochastic processes and financial applications참고 문헌 61인용 수 4

한 줄 요약

이 논문은 국소 리프시츠 조건을 만족하는 드리프트와 가우시안 가우시안 노이즈를 가진 SDE에 대해 명시적 수치 분할 방법을 제안하며, 평균 제곱 수렴 차수 1을 입증하고, 히포에일리프티시티, 기하적 정규성, 유한한 두 번째 모멘트, 진동하는 역학을 유지함으로써 피츠휴-나구모 모델과 같은 모델에서 장기 시뮬레이션 및 통계적 추론에서 표준 옐러-마루야마 방법보다 뛰어난 성능을 발휘한다.

ABSTRACT

In this article, we construct and analyse explicit numerical splitting methods for a class of semi-linear stochastic differential equations (SDEs) with additive noise, where the drift is allowed to grow polynomially and satisfies a global one-sided Lipschitz condition. The methods are proved to be mean-square convergent of order 1 and to preserve important structural properties of the SDE. In particular, first, they are hypoelliptic in every iteration step. Second, they are geometrically ergodic and have asymptotically bounded second moments. Third, they preserve oscillatory dynamics, such as amplitudes, frequencies and phases of oscillations, even for large time steps. Our results are illustrated on the stochastic FitzHugh-Nagumo model and compared with known mean-square convergent tamed/truncated variants of the Euler-Maruyama method. The capability of the proposed splitting methods to preserve the aforementioned properties makes them applicable within different statistical inference procedures. In contrast, known Euler-Maruyama type methods commonly fail in preserving such properties, yielding ill-conditioned likelihood-based estimation tools or computationally infeasible simulation-based inference algorithms.

연구 동기 및 목표

• 다항식 성장 드리프트와 가우시안 노이즈를 가진 반선형 SDE에 대해 이산화 과정에서 구조적 성질을 유지하는 수치적 방법을 개발하기 위해.
• 표준 옐러-마루야마 유형의 방법이 장기 시뮬레이션 동안 진동 역학을 유지하지 못하고 통계적 추론의 타당성을 상실하는 문제를 해결하기 위해.
• 각 반복 단계에서 히포에일리프티시티, 기하적 정규성, 유한한 두 번째 모멘트를 유지하면서 평균 제곱 수렴 차수 1을 보장하기 위해.
• 분할 방법이 옐러-마루야마 방법보다 진동 특성(진폭, 주기, 위상)을 더 잘 유지함을 보여주기 위해, 특히 큰 시간 간격에서도 성능을 높이기 위해.

제안 방법

• SDE를 선형 및 비선형 부분으로 분해하여 각 성분을 별도 단계에서 정확하게 또는 고차 정밀도로 해결한다.
• 선형 부분의 정확한 적분과 비선형 드리프트의 수치적 근사(가우시안 노이즈 포함)를 이용해 명시적 분할 방법을 구성한다.
• 분할 과정을 통해 노이즈 구조를 유지함으로써 매 시간 단계에서 히포에일리프티시티를 보장한다.
• 수렴 분석은 전역 일방적 리프시츠 조건과 드리프트의 다항식 성장 조건에 기반하며, 평균 제곱 수렴 차수 1을 보장한다.
• 분할 전략의 철저한 설계를 통해 구조적 보존이 달성되며, 기하적 정규성과 같은 장기적 통계적 성질이 유지된다.
• 성능 검증을 위해 분할 방법을 확률적 피츠휴-나구모 모델에 적용하여, 양성 및 절단된 옐러-마루야마 방법과의 성능을 비교한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 국소 리프시츠 조건을 만족하는 드리프트와 가우시안 노이즈를 가진 SDE에 대해 명시적 분할 방법이 평균 제곱 수렴 차수 1을 달성할 수 있는가?
• RQ2 분할 방법이 각 반복 단계에서 히포에일리프티시티, 기하적 정규성, 유한한 두 번째 모멘트를 유지하는가?
• RQ3 분할 방법은 옐러-마루야마 방법 대비 진동 역학(진폭, 주기, 위상)을 얼마나 잘 유지하는가? 특히 큰 시간 간격에서도 성능이 우수한가?
• RQ4 장기 시뮬레이션을 포함한 통계적 추론 과제에서 분할 방법이 양성 및 절단된 옐러-마루야마 방법보다 뛰어난가?
• RQ5 분할 방법이 SDE의 어떤 구조적 성질를 유지하며, 이러한 성질이 최대우도 기반 추정 및 시뮬레이션 기반 추론에 어떤 영향을 미치는가?

주요 결과

• 제안된 분할 방법은 전역 일방적 리프시츠 조건 하에서 다항식 성장 드리프트를 가진 SDE에 대해 평균 제곱 수렴 차수 1을 달성한다.
• 각 반복 단계에서 히포에일리프티시티가 유지되어 수치적 방법이 정규성에 필요한 노이즈 구조를 유지한다.
• 이 방법은 기하적 정규성을 보이며, 점차적으로 유한한 두 번째 모멘트를 나타내어 장기 시뮬레이션의 안정성에 매우 중요하다.
• 분할 방법은 큰 시간 간격에서도 진동 역학(진폭, 주기, 위상)을 성공적으로 유지한다.
• 옐러-마루야마 방법과 달리, 분할 방법은 부정확한 우도 함수와 계산적으로 불가능한 추론 알고리즘을 피함으로써 통계적 절차에서의 문제를 방지한다.
• 피츠휴-나구모 모델에 대한 경험적 검증을 통해 장기 시뮬레이션 동안 구조적 및 역학적 성질을 더 잘 유지함을 확인하였다.