[논문 리뷰] Spontaneous Symmetry Breaking of Lorentz and (Galilei) Boosts in (Relativistic) Many-Body Systems

Manfred Requardt|arXiv (Cornell University)|2008. 05. 20.

Quantum Mechanics and Applications참고 문헌 25인용 수 6

한 줄 요약

이 논문은 비편이성 및 비상대론적 many-body 시스템에서 비영인 입자 또는 에너지 밀도로 인해 로렌츠 및 가우스 부스팅 대칭의 자발적 대칭 깨짐(Spontaneous Symmetry Breaking, SSB)이 발생함을 보여주며, 이로 인해 갭이 없는 포논 유사 특성을 띠는 골드스톤 진동자가 나타난다. 이 진동자는 열역학적 한계에서 재정의된 해밀토니안을 통해 나타나며, 에너지-운동량 스펙트럼이 전체 양의 반공간을 커버함으로써 시간 이동 불변성이 부스팅 생성자에 대해 존재하지 않음에도 불구하고 일반화된 골드스톤 현상이 확인된다.

ABSTRACT

We extend a result by Ojima on spontaneous symmetry breaking of Lorentz boosts in thermal (KMS) states and show that it is in fact a special case in a more general class of examples of spontaneous symmetry breaking of Lorentz symmetry in relativistic many-body systems. Furthermore we analyse the nature of the corresponding Goldstone phenomenon and the type of Goldstone excitations (provided they have particle character).

연구 동기 및 목표

• KMS 상태에서 로렌츠 부스팅의 SSB에 대한 예지마의 결과를 더 넓은 범위의 상대론적 및 비상대론적 many-body 시스템으로 일반화하기 위해.
• 부스팅 SSB로 인해 발생하는 골드스톤 진동자의 성격을 분석하며, 특히 그들의 입자 유사 특성과 갭이 없는 분산을 다루기 위해.
• 부스팅 생성자와 시간 진동이 비가환임에도 불구하고 골드스톤 정리가 성립하는 조건을 명확히 하기 위해.
• 유한체적 및 열역학적 한계에서 집단 진동자(포함하여 골드스톤 모드)와 준입자, 진공 입자를 구분하기 위해.

제안 방법

• 이동 불변성이 아닌 전류, 특히 로렌츠 및 가우스 부스팅과 관련된 전류를 다루기 위해 연산자와 상태의 스펙트럼 지지 분석을 도입한다.
• 물리적 진동자 스펙트럼을 분리하기 위해 $ \rho_0 $를 에너지 또는 입자 밀도로 정의한 재정의된 해밀토니안 $ K = H - n \rho_0 $ 를 정의한다.
• 입자 상태를 포함한 유한 체적에서의 포크 공간 형식을 사용하여 부스팅 관련 생성/소멸 연산자 $ b^\dagger(\mathbf{k}) $, $ b(\mathbf{k}) $ 의 작용을 연구한다.
• 열역학적 한계에서 $ N $-입자 진동자의 에너지 스펙트럼을 분석하여, 고정된 총 운동량을 가진 저운동량 모드가 고정된 총 운동량에서 임의로 작은 에너지를 가질 수 있음을 보여준다.
• 스케일링 추론을 적용하여 $ \varepsilon_i \sim \varepsilon/4 $, $ N \sim 2k/\varepsilon $ 를 사용하여 $ N \to \infty $ 일 때 $ E_N \to 0 $ 임을 보이며, 고정된 총 운동량 $ \mathbf{k} $ 에도 불구하고 이를 확인한다.
• 열역학적 한계에서 영운동량 모드를 c-숫자로 취급하여 $ a(0)/n^{1/2} \to e^{i\alpha} \delta(\mathbf{k}) $ 를 유도함으로써, 응축 상태 효과와 게이지 대칭 깨짐을 다룬다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 다양체 시스템에서 로렌츠 부스팅의 자발적 대칭 깨짐은 어떤 조건에서 발생하며, 열적 KMS 상태를 초월하여 어떻게 일반화될 수 있는가?
• RQ2 부스팅 생성자가 해밀토니안과 비가환임에도 불구하고 골드스톤 진동자는 어떻게 나타나며, 이는 표준 골드스톤 정리에 도전하는가?
• RQ3 유도된 진동자의 에너지-운동량 스펙트럼의 성격은 무엇이며, 열역학적 한계에서 전체 양의 반공간을 커버하는가?
• RQ4 상대론적 역학과 깨진 부스팅 대칭의 상호작용에서 집단 진동자, 특히 포논 유사 모드는 어떻게 유도되는가?
• RQ5 재정의된 해밀토니안 $ K = H - \mu \hat{N} $ 이 물리적 스펙트럼을 정의하고 골드스톤 모드 분석을 가능하게 하는 데서의 역할은 무엇인가?

주요 결과

• 비영인 입자 또는 에너지 밀도로 인해 로렌츠 및 가우스 부스팅 대칭의 자발적 대칭 깨짐이 발생하며, 이는 옥지마의 KMS 상태 결과를 더 넓은 다양체 시스템으로 일반화한다.
• 골드스톤 진동자는 갭이 없고 포논 유사 특성을 띠며, 소작은 $ k $ 에서 $ \omega_k - \omega_0 \approx \frac{1}{2m} k^2 $ 의 분산을 보이며, 부드러운 모드 스펙트럼을 나타낸다.
• 열역학적 한계에서 고정된 총 운동량 $ \mathbf{k} $ 를 가진 $ N $-입자 진동자의 에너지는 임의로 작게 만들 수 있으며, $ N \to \infty $ 일 때 $ E_N \to 0 $ 임을 확인함으로써 갭이 없는 모드의 존재를 확인한다.
• 재정의된 해밀토니안 $ K = H - \mu \hat{N} $, $ \mu = \omega_0 $ 를 통해 물리적 스펙트럼을 분리하고, $ K b^\dagger(\mathbf{k}) |n\rangle = (\omega_k - \omega_0) b^\dagger(\mathbf{k}) |n\rangle $ 를 통해 갭이 없는 모드를 식별할 수 있다.
• 영운동량 모드는 열역학적 한계에서 c-숫자로 행동하며, $ a(0)/n^{1/2} \to e^{i\alpha} \delta(\mathbf{k}) $ 를 만족함으로써 응축 상태 형성과 게이지 대칭 깨짐을 반영한다.
• 열역학적 한계에서 전체 양의 에너지-운동량 스펙트럼이 커버되며, 이는 모든 운동량에서 갭이 없는 진동자가 존재함을 나타내며 일반화된 골드스톤 현상과 일치한다.