[논문 리뷰] Square root $p$-adic $L$-functions, I: Construction of a one-variable measure

Michael Harris|arXiv (Cornell University)|2019. 11. 05.

Advanced Algebra and Geometry참고 문헌 33인용 수 2

한 줄 요약

이 논문은 히다 가중치 가중치를 사용하여 유니타리 군 위의 자동형 양식과 관련된 L함수의 특수값을 보간하는 일변수 p진 측도를 구성한다. 이는 p진 모듈러 형식과 히다 가중치를 활용하며, 특히 한 형식이 해석적이고 다른 한 형식이 반해석적인 경우에, 이치노-이케다-낭옌(Ichino-Ikeda-Nguyen, IINH) 추측에서 유래한 주기의 p진 보간을 증명하여, 반대칭 p진 L함수의 제곱근을 실현하기 위한 핵심 단계를 확립한다.

ABSTRACT

The Ichino-Ikeda conjecture, and its generalization to unitary groups by N. Harris, has given explicit formulas for central critical values of a large class of Rankin-Selberg tensor products. Although the conjecture is not proved in full generality, there has been considerable progress, especially for $L$-values of the form $L(1/2,BC(\pi) imes BC(\pi'))$, where $\pi$ and $\pi'$ are cohomological automorphic representations of unitary groups $U(V)$ and $U(V')$, respectively. Here $V$ and $V'$ are hermitian spaces over a CM field, $V$ of dimension $n$, $V'$ of codimension $1$ in $V$, and $BC$ denotes the twisted base change to $GL(n) imes GL(n-1)$. This paper contains the first steps toward generalizing the construction of my paper with Tilouine on triple product $L$-functions to this situation. We assume $\pi$ is a holomorphic representation and $\pi'$ varies in an ordinary Hida family (of antiholomorphic forms). The construction of the measure attached to $\pi$ uses recent work of Eischen, Fintzen, Mantovan, and Varma.

연구 동기 및 목표

• 유니타리 군 위의 자동형 표현과 관련된 중심 L값을 보간하는 p진 측도를 구성하는 것.
• IINH 추측에서 유래한 주기 적분의 p진 보간을 통해 반대칭 p진 L함수의 제곱근의 한 분지(브랜치)를 실현하는 것.
• 특히 해석적이고 반해석적 성분을 각각 하나씩 포함하는 표현에 대해, [HT]의 방법을 유니타리 군과 IINH 추측으로 확장하는 것.
• 히다 가중치의 맥락에서 GGP 및 IINH 추측과 호환되는 p진 측도의 존재를 확립하는 것.

제안 방법

• 해석적 자동형 양식에서 p진 모듈러 형식과 미분 연산자를 사용하여 p진 측도를 구성하는 방법.
• 히다 이론을 적용하여 자동형 양식의 가중치를 구성하며, 일반적 및 반일반적 매개변수에 중점을 둔다.
• 등변 측도와 쌍대화 구조를 활용하여 코homological 주기와 p진 L값을 연결하는 방법.
• 측도가 히다 가중치의 구조와 호환되도록 보장하기 위해 Gorenstein 가정을 활용하는 방법.
• IINH 추측을 적용하여 특수 L값과 자동형 양식의 주기 사이의 관계를 규명하는 방법.
• 반일반적 형식과의 쌍대화를 통해 히다 가중치와의 수축을 통해 일차원 p진 측도를 구성하는 방법.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 유니타리 군에 대해 IINH 추측에서 유래한 L함수의 특수값을 보간하는 일변수 p진 측도를 구성할 수 있는가?
• RQ2 히다 가중치 내에서 해석적 및 반해석적 형식의 주기 적분은 p진 보간에서 어떻게 행동하는가?
• RQ3 Gorenstein 조건은 이러한 p진 측도의 존재를 보장하는 데 어떤 역할을 하는가?
• RQ4 이 구성은 유니타리 군의 맥락에서 글로벌 갠-그로스-프라사드(Gan-Gross-Prasad) 및 이치노-이케다 추측과 어떻게 관련이 있는가?

주요 결과

• 유니타리 군 위의 자동형 표현과 관련된 랭킨-셀버그 L함수의 중심 L값을 보간하는 일변수 p진 측도가 구성되었다.
• IINH 추측에서 유래한 주기 적분의 p진 보간을 통해 반대칭 p진 L함수의 제곱근의 한 분지가 실현되었다.
• 측도는 Gorenstein 가정과 히다 가중치 내 반일반적 형식의 쌍대화 구조와 호환된다.
• 특히 해석적 및 반해석적 성분을 각각 하나씩 포함하는 표현에 대해, [HT]의 프레임워크를 유니타리 군으로 확장하여, 코homological 표현의 주기 보간을 제공하는 데 성공하였다.
• 구성은 특히 자동형 표현이 코homological이면서 안정적인 경우에 글로벌 IINH 추측과 일관되다.