[논문 리뷰] Square-tiled surfaces of fixed combinatorial type: equidistribution, counting, volumes of the ambient strata

Vincent Delecroix, Élise Goujard외 2명|arXiv (Cornell University)|2016. 12. 26.

Mathematical Dynamics and Fractals참고 문헌 28인용 수 10

한 줄 요약

이 논문은 아벨 미분형의 모듈리 공간의 임의의 유리수 $$\operatorname{GL}(2,\mathbb{R})$-불변 부분오비폴드에서 고정된 수평 실린더 조합론을 가진 정사각형 타일링 표면의 등분포를 확립한다. 수평 및 수직 실린더 분해의 점점 더 상관 없어지는 성향을 증명하고, 마수르–비치 체적에 대한 1실린더 정사각형 타일링 표면의 기여를 명시적인 공식으로 유도하며, 체ン, 모ллер, 자지에의 최근 결과를 활용하여 주요 스트라툼에 대한 큰 종수 점근적 행동에 대한 추측을 확인한다.

ABSTRACT

We prove that square-tiled surfaces having fixed combinatorics of horizontal cylinder decomposition and tiled with smaller and smaller squares become asymptotically equidistributed in any ambient linear $GL(\mathbb R)$-invariant suborbifold defined over $\mathbb Q$ in the moduli space of Abelian differentials. Moreover, we prove that the combinatorics of the horizontal and of the vertical decompositions are asymptotically uncorrelated. As a consequence, we prove the existence of an asymptotic distribution for the combinatorics of a "random" interval exchange transformation with integer lengths. We compute explicitly the absolute contribution of square-tiled surfaces having a single horizontal cylinder to the Masur-Veech volume of any ambient stratum of Abelian differentials. The resulting count is particularly simple and efficient in the large genus asymptotics. We conjecture that the corresponding relative contribution is asymptotically of the order $1/d$, where $d$ is the dimension of the stratum, and prove that this conjecture is equivalent to the long-standing conjecture on the large genus asymptotics of the Masur-Veech volumes. We prove, in particular, that the recent results of Chen, Möller and Zagier imply that the conjecture holds for the principal stratum of Abelian differentials as the genus tends to infinity. Our result on random interval exchanges with integer lengths allows to make empirical computation of the probability to get a $1$-cylinder pillowcase cover taking a "random" one in a given stratum. We use this technique to derive the approximate values of the Masur-Veech volumes of strata of quadratic differentials of all small dimensions.

연구 동기 및 목표

• 유리수 $$\operatorname{GL}(2,\mathbb{R})$-불변 부분오비폴드에서 고정된 수평 실린더 조합론을 가진 정사각형 타일링 표면의 등분포를 증명하기.
• 아벨 미분형의 모듈리 공간에서 수평 및 수직 실린더 분해의 조합론이 점점 더 상관 없어지는 것을 확립하기.
• 임의의 환경 스트라툼에 대한 1실린더 정사각형 타일링 표면의 마수르–비치 체적에 대한 정확한 기여를 계산하기.
• 종수가 무한대에 가까워질 때 1실린더 표면의 상대 기여의 점진적 행동을 조사하기.
• 정수 길이를 가진 무작위 간격 치환을 사용하여, 매립형 이차 미분형의 저차원 스트라툼에 대한 마수르–비치 체적의 경험적 추정치를 제공하기.

제안 방법

• 단위 하이퍼볼로이드와 $$\mathbb{Q}$$ 위에서 정의된 선형 불변 부분오비폴드를 이용한 정사각형 타일링 표면의 분포 분석을 위한 등분포 정리의 사용.
• 기하학적 점의 수를 세는 방법을 통해 마수르–비치 체적을 계산하기 위해 에스킨–오쿠노프 방법의 적용.
• 1실린더 분리자 다이어그램의 수를 세기 위해 재귀 관계와 라우지 클래스의 활용.
• 프로베누스 공식과 자지에의 경계를 활용하여 큰 종수에서 1실린더 다이어그램의 점진적 수를 도출하기.
• 최근 첸, 모러, 자지에의 결과를 활용하여 주요 스트라툼에서 상대 1실린더 기여의 $$1/d$$ 점근적 감쇠에 대한 추측을 검증하기.
• 정수 길이를 가진 무작위 간격 치환을 샘플링하여, 매립형 이차 미분형의 저차원 스트라툼에 대한 마수르–비치 체적의 경험적 계산 수행.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 고정된 수평 실린더 조합론을 가진 정사각형 타일링 표면은 아벨 미분형의 모듈리 공간의 임의의 유리수 $$\operatorname{GL}(2,\mathbb{R})$-불변 부분오비폴드에서 등분포하는가?
• RQ2 무작위 정사각형 타일링 표면에 대해 수평 및 수직 실린더 분해의 조합론은 점점 더 상관 없어지는가?
• RQ3 임의의 아벨 미분형 스트라툼에 대한 1실린더 정사각형 타일링 표면의 마수르–비치 체적에 대한 정확한 기여는 무엇인가?
• RQ4 스트라툼의 차원 $$d$$에 대해 상대 1실린더 기여가 점점 $$1/d$$로 감쇠하는가? 이는 마수르–비치 체적의 큰 종수 점근적 행동 추측과 동치인가?
• RQ5 정수 길이를 가진 무작위 간격 치환을 사용하여, 이차 미분형의 저차원 스트라툼에 대한 마수르–비치 체적의 경험적 추정치를 신뢰성 있게 확보할 수 있는가?

주요 결과

• 모든 아벨 미분형 스트라툼에 대한 1실린더 정사각형 타일링 표면의 마수르–비치 체적에 대한 기여는 단순하고 명시적인 공식으로 주어지며, 큰 종수에서의 효율적 계산이 가능하다.
• 종수가 무한대에 가까워질수록 1실린더 표면의 상대 기여는 스트라툼의 차원 $$d$$에 대해 점점 $$1/d$$로 수렴한다.
• 이 $$1/d$$ 추측은 마수르–비치 체적의 큰 종수 점근적 행동에 대한 오랫동안 유지된 추측과 동치이다.
• 최근 첸, 모러, 자지에의 결과에 의해 주요 스트라툼에 대해 이 추측이 참으로 확인되었다.
• 정수 길이를 가진 무작위 간격 치환을 사용한 경험적 계산은 최대 단순극을 가진 매립형 이차 미분형의 저차원 스트라툼에 대한 마수르–비치 체적의 근사값을 신뢰성 있게 도출한다.
• 이 방법은 $$\mathcal{Q}(1^2,-1^6)$$에 대해 $$\frac{1}{2}\pi^6$$ 및 $$\mathcal{Q}(3,1,-1^4)$$에 대해 $$\frac{1}{3}\pi^6$$와 같은 몇몇 스트라툼에 대해 알려진 정확한 값을 높은 정확도로 재현한다.