[논문 리뷰] Squared quadratic Wasserstein distance : optimal couplings and Lions differentiability

Aurélien Alfonsi, Benjamin Jourdain|arXiv (Cornell University)|2018. 11. 19.

Geometric Analysis and Curvature Flows참고 문헌 18인용 수 10

한 줄 요약

이 논문은 제곱 이차 워샤우르스킨 거리 $W_2^2(\mu,\nu)$에 대한 최적 쌍대성의 모든 구조가 마팅게일 쌍대성과 최적 운반 맵 $\mathcal{T}$로 분해됨을 증명하며, $\sigma \mapsto W_2^2(\sigma,\nu)$가 $\mu$에서 리온스 미분 가능할 조건이 유일한 최적 쌍대성이 맵으로 주어질 때에만 성립함을 보임. 이 등가성은 최적 운반 이론에서 핵심적인 미분 가능 조건을 해결하고, 법칙에 대해 불변인 함수의 프레셰 미분 가능성이 가측성 기울기를 암시함을 확보하는 확률론적 증명을 제공함.

ABSTRACT

In this paper, we remark that any optimal coupling for the quadratic Wasserstein distance $W^2_2(\\mu,\ u)$ between two probability measures $\\mu$ and $\ u$ with finite second order moments on $\\mathbb{R}^d$ is the composition of a martingale coupling with an optimal transport map ${\\mathcal T}$. We check the existence of an optimal coupling in which this map gives the unique optimal coupling between $\\mu$ and ${\\mathcal T}\\#\\mu$. Next, we give a direct proof that $\\sigma\\mapsto W_2^2(\\sigma,\ u)$ is differentiable at $\\mu$ in the Lions sense iff there is a unique optimal coupling between $\\mu$ and $\ u$ and this coupling is given by a map. It was known combining results by Ambrosio, Gigli and Savar\\'e and Ambrosio and Gangbo that, under the latter condition, geometric differentiability holds. Moreover, the two notions of differentiability are equivalent according to the recent paper of Gangbo and Tudorascu. Besides, we give a self-contained probabilistic proof that mere Fr\\'echet differentiability of a law invariant function $F$ on $L^2(\\Omega,\\mathbb{P};\\mathbb{R}^d)$ is enough for the Fr\\'echet differential at $X$ to be a measurable function of $X$.

연구 동기 및 목표

• 제곱 이차 워샤우르스킨 거리 $W_2^2(\mu,\nu)$에 대한 최적 쌍대성의 구조를 규명하는 것.
• 최적 쌍대성이 맵으로 주어질 때, $W_2^2(\cdot,\nu)$가 $\mu$에서 리온스 미분 가능할 조건과의 등가성을 확립하는 것.
• 법칙에 대해 불변인 함수의 프레셰 미분 가능성이 가측 기울기를 암시함을 자가 포함된 확률론적 증명을 제공하는 것.
• 기하학적 미분 가능성, 리온스 미분 가능성, 최적 운반 맵의 유일성 간의 관계를 명확히 하는 것.

제안 방법

• 모든 최적 쌍대성 $\pi$를 $\mathcal{T}\#\mu$와 $\nu$ 사이의 마팅게일 쌍대성과 $\mu$에서 $\mathcal{T}\#\mu$로 가는 운반 맵 $\mathcal{T}$의 조합으로 분해함.
• 측도의 분해와 마코프 커널 $k(x,dy)$ 하에서의 편향-분산 분해를 이용해 쌍대성의 구조를 유도함.
• 기본 시뮬레이션 정리를 적용하여 동일한 법칙을 가진 확률 변수를 원소가 없는 확률 공간 위에 구성함.
• 원소가 없는 확률 공간 간의 거의 동형사상의 존재를 이용해, 올림프 공간을 통해 미분 가능성 결과를 이전함.
• 간보와 트두라스쿠(2020)의 결과를 활용해 리온스 미분 가능성을 기하학적 미분 가능성과 동일시하고 워샤우르스킨 기울기를 특정함.
• 레마 2.4를 적용하여, 올림프 기능의 프레셰 미분이 법칙 하에서 랜덤 변수의 가측 함수임을 보임.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 제곱 이차 워샤우르스킨 거리 $W_2^2(\mu,\nu)$가 $\mu$에 대해 리온스 미분 가능할 조건은 무엇인가?
• RQ2 최적 쌍대성의 구조가 $W_2^2(\mu,\nu)$에 대해 운반 맵과 마팅게일 쌍대성으로 분해될 수 있는가?
• RQ3 법칙에 대해 불변인 함수의 $L^2$에서의 프레셰 미분 가능성이 그 미분이 기저 랜덤 변수의 가측 함수임을 보장하는가?
• RQ4 리온스 미분 가능성, 기하학적 미분 가능성, 최적 운반 맵의 유일성은 어떻게 관련되어 있는가?
• RQ5 $W_2^2(\cdot,\nu)$의 $L$-미분 가능성은 기저의 원소가 없는 확률 공간의 선택에 의존하는가?

주요 결과

• 제곱 이차 워샤우르스킨 거리 $W_2^2(\mu,\nu)$에 대한 최적 쌍대성은 $\mathcal{T}\#\mu$와 $\nu$ 사이의 마팅게일 쌍대성과 $\mu$에서 $\mathcal{T}\#\mu$로 가는 최적 운반 맵 $\mathcal{T}$의 조합으로 구성됨.
• 유일한 최적 쌍대성이 맵으로 주어질 때, $\sigma \mapsto W_2^2(\sigma,\nu)$가 $\mu$에서 리온스 미분 가능할 조건이 성립함.
• 법칙에 대해 불변인 함수 $F$의 $L^2(\Omega,\mathbb{P};\mathbb{R}^d)$에서의 프레셰 미분 가능성이, 그 프레셰 미분이 $X$의 가측 함수임을 암시함.
• $f$의 $\mu$에서의 $L$-미분 가능성은 원소가 없는 확률 공간 $\Omega$의 선택과 무관하며, 이는 워샤우르스킨 기울기 $\nabla_\mu f$로 주어짐.
• 리온스 미분 가능성과 기하학적 미분 가능성은 동치이며, 둘 다 맵으로 주어진 유일한 최적 쌍대성이 존재하는 것과 동치임.
• 기하학적 의미에서의 초미분 및 하위미분의 유일한 원소인 워샤우르스킨 기울기 $\nabla_\mu f$는 도함수의 유일성을 확인함.