[논문 리뷰] Squarefree values of polynomial discriminants I

Manjul Bhargava, Arul Shankar외 1명|arXiv (Cornell University)|2016. 11. 29.

Analytic Number Theory Research참고 문헌 10인용 수 45

한 줄 요약

이 논문은 $n > 1$인 모닉 정수 계수 다항식 중 판별식이 제곱frei인 것들의 자연 밀도가 양임을 증명하며, 자연 밀도가 소수에 대한 곱 $ olambda_n = \prod_p \lambda_n(p)$ 로 표현됨을 보이며, 여기서 $ olambda_n(p)$ 는 $p^2$-frei 판별식을 가진 다항식의 $p$-진 밀도이다. 또한 $ olbb{Z}[x]/(f(x))$ 가 그 분수체에서 정수环임을 만족하는 모닉 다항식의 밀도가 $ olbb{\zeta}(2)^{-1} \approx 60.79\%$ 임을 보이며, 이러한 다항식과 단기적 수체의 점근적 수세기에 대해 파워 세이빙 오차 항을 도출한다.

ABSTRACT

We determine the density of monic integer polynomials of given degree $n>1$ that have squarefree discriminant; in particular, we prove for the first time that the lower density of such polynomials is positive. Similarly, we prove that the density of monic integer polynomials $f(x)$, such that $f(x)$ is irreducible and $\mathbb Z[x]/(f(x))$ is the ring of integers in its fraction field, is positive, and is in fact given by $ζ(2)^{-1}$. It also follows from our methods that there are $\gg X^{1/2+1/n}$ monogenic number fields of degree $n$ having associated Galois group $S_n$ and absolute discriminant less than $X$, and we conjecture that the exponent in this lower bound is optimal.

연구 동기 및 목표

• 도수 $n > 1$인 모닉 정수 계수 다항식 중 판별식이 제곱frei인 것들의 자연 밀도를 높이 순서 $H(f) = \max\{|a_i|^{1/i}\}$ 에 따라 결정하는 것.
• 모닉 정수 계수 다항식 $f(x)$ 중 $ olbb{Z}[x]/(f(x))$ 가 그 분수체에서 정수环임을 만족하는 것들의 밀도가 $ olbb{\zeta}(2)^{-1}$ 임을 증명하는 것. 이는 $n$ 과 무관하다.
• 도수 $n$ 인 단기적 $S_n$-수체 중 절대 판별식이 $X$ 이하인 것들의 수에 대해 $\gg X^{1/2 + 1/n}$ 의 하한을 구하고, 이 지수 값이 최적임을 추측하는 것.
• 이러한 다항식과 수체의 점근적 수세기에 대해 파워 세이빙 오차 항을 확립하여 이전의 경계를 향상시키는 것.

제안 방법

• 모닉 다항식 $f(x) = x^n + a_1x^{n-1} + \cdots + a_n$ 에 대해 높이 $H(f) = \max\{|a_i|^{1/i}\}$ 를 정의하고, 이를 세는 데 사용하는 순서 기준으로 삼는다.
• 각 소수 $p$ 에 대해 $ olbb{Z}_p$ 위의 모닉 다항식 중 판별식이 $p^2$ 로 나누어지지 않는 것들의 $p$-진 밀도 $ olambda_n(p)$ 를 계산하고, $ olambda_n = \prod_p \nolambda_n(p)$ 를 정의한다.
• 중국인의 나머지 정리와 포함배제 원리를 사용하여 국소적 $p$-진 조건을 전역 밀도로 올리기 위해 곱 공식을 적용한다.
• 다베크-헤일브로른 방법과 $p$-진 적분 기법을 적용하여 모든 소수에서 국소 조건을 만족하는 다항식의 수를 세며, 파워 세이빙 오차 항을 확보한다.
• 변환 $x \mapsto x + c$ 를 사용하여 $x^{n-1}$ 계수를 0으로 만들고, 수체 표현의 유일성을 확보한다.
• 제곱frei 판별식은 최대 순서와 $S_n$-갈루아 군을 암시하므로, 판별식 조건을 단기적 성질과 수체 수세기와 연결한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 높이 순서 $H(f) = \max\{|a_i|^{1/i}\}$ 에서 도수 $n > 1$인 모닉 정수 계수 다항식 중 판별식이 제곱frei인 것들의 자연 밀도는 얼마인가요?
• RQ2 도수 $n > 1$인 모닉 정수 계수 다항식 $f(x)$ 중 $ olbb{Z}[x]/(f(x))$ 가 그 분수체에서 정수环임을 만족하는 비율은 얼마인가요?
• RQ3 절대 판별식이 $X$ 이하인 도수 $n$ 인 단기적 수체는 몇 개인가요? (갈루아 군이 $S_n$)
• RQ4 이러한 단기적 $S_n$-수체의 수에 대해 $\gg X^{1/2 + 1/n}$ 이라는 하한이 향상되거나 최적임을 증명할 수 있을까요?
• RQ5 제곱frei 판별식을 가진 모닉 다항식의 점근적 행동은 어떻게 되며, 오차 항은 $X$ 와 어떻게 척도가 맞을까요?

주요 결과

• 도수 $n$ 인 모닉 정수 계수 다항식 중 판별식이 제곱frei인 것들의 밀도는 $\nolambda_n = \prod_p \nolambda_n(p) > 0$ 이며, $n \to \infty$ 일 때 $\nolambda_n \to \nolambda \approx 30.7056\%$ 로 수렴한다.
• 모닉 정수 계수 다항식 $f(x)$ 중 $ olbb{Z}[x]/(f(x))$ 가 그 분수체에서 정수环임을 만족하는 것들의 밀도는 정확히 $\nolbb{\zeta}(2)^{-1} \approx 60.7927\%$ 이며, 이는 $n$ 과 무관하다.
• 높이 $H(f) < X$ 인 도수 $n$ 인 모닉 정수 계수 다항식 중 판별식이 제곱frei인 것들의 수는 $\nolambda_n \cdot 2^n X^{n(n+1)/2} + O_\varepsilon(X^{n(n+1)/2 - 1/5 + \varepsilon})$ 이다.
• 절대 판별식이 $X$ 이하인 도수 $n$ 인 단기적 $S_n$-수체의 수는 $\gg X^{1/2 + 1/n}$ 이며, 저자들은 이 지수 값이 최적임을 추측한다.
• 높이 $\leq Y$ 이고 판별식이 제곱frei이며 $x^{n-1}$ 계수가 0인 모닉 다항식의 수는 $\gg Y^{(n-1)(n+2)/2}$ 이며, 이는 작은 $s(K)$ 를 가진 수체의 수에 대한 하한을 암시한다.
• 절대 판별식이 $X$ 이하인 단기적 $S_n$-수체의 점근적 수세기는 $\frac{nC_n}{2\nolbb{\zeta}(2)} X^{1/2 + 1/n}$ 으로 수렴할 것이라 추측되며, 여기서 $C_n$ 은 $\nolbb{R}^{n-1}$ 내의 특정 영역의 부피이다.