[논문 리뷰] Squarefree values of polynomial discriminants II

Manjul Bhargava, Arul Shankar외 1명|arXiv (Cornell University)|2022. 07. 12.

Analytic Number Theory Research인용 수 4

한 줄 요약

이 논문은 정수 계수 이항 $n$-차 형식에서 판별식이 제곱-free인 경우의 최초의 양의 밀도를 확립하며, 모든 $n \geq 2$에 대해 밀도가 존재하고 이를 명시적으로 계산한다. 또한 관련 링이 그 분수체에서 최대 정수환임을 만족하는 형식의 밀도를 결정하고, $\mathbb{P}^1_{\mathbb{Z}}$에 대한 산술 베르티니 정리(아래)를 증명하며, 유계 판별식을 가진 $S_n$-수체의 수에 대한 하한을 향상시킨다.

ABSTRACT

We determine the density of integral binary forms of given degree that have squarefree discriminant, proving for the first time that the lower density is positive. Furthermore, we determine the density of integral binary forms that cut out maximal orders in number fields. The latter proves, in particular, an ``arithmetic Bertini theorem'' conjectured by Poonen for $\mathbb{P}^1_\mathbb{Z}$. Our methods also allow us to prove that there are $\gg X^{1/2+1/(n-1)}$ number fields of degree~$n$ having associated Galois group~$S_n$ and absolute discriminant less than $X$, improving the best previously known lower bound of $\gg X^{1/2+1/n}$. Finally, our methods correct an error in and thus resurrect earlier (retracted) results of Nakagawa on lower bounds for the number of totally unramified $A_n$-extensions of quadratic number fields of bounded discriminant.

연구 동기 및 목표

• 높이 순서로 정렬된 정수 계수 이항 $n$-차 형식 중 판별식이 제곱-free인 경우의 자연 밀도를 결정하는 것.
• 관련 링이 분수체에서 최대 정수환인 기약 이항 $n$-차 형식의 밀도를 계산하는 것.
• $\mathbb{P}^1_{\mathbb{Z}}$에 대한 조건 없는 산술 베르티니 정리를 확립하여 Poonen의 추측을 확인하는 것.
• Galois 군이 $S_n$이고 절대 판별식이 $X$ 이하인 차수 $n$의 수체의 수에 대한 하한을 향상시키는 것.
• Nakagawa의 이전 결과에서 발생한 오류를 수정함으로써, 이차체 위의 무분할 $A_n$-확장에 대한 결과를 복원하는 것.

제안 방법

• 모든 소수 $p$에서 형식이 최대가 되는 비율을 계산하기 위해 $p$-진 및 국소 밀도 방법을 사용하며, 헨젤의 보조정리와 $p$를 모듈로로 하는 인수분해의 올림을 활용한다.
• 모든 소수에서의 국소 밀도를 조합하여 제곱-free 판별식을 가진 형식의 전역 밀도를 제어하기 위해 필터 이론적 기법을 적용한다.
• 관련 링 $R_f$가 최대가 되는 형식을 위한 정교한 수세기 방법을 도입하며, 이는 소수 모듈로에서의 감소 유형과 $p$-진 올림에 따른 판별식의 행동을 분석함으로써 이루어진다.
• 형식이 $p$에서 최대가 되는 국소 밀도 $\beta_n(p)$를 계산하기 위해 계수의 $p$-진 순서와 모듈로 $p$에서의 인수분해 유형에 따라 형식의 공간을 분해하고, $p$-진 해석의 결과를 활용한다.
• 모든 소수에 대한 곱 공식을 활용하여 제곱-free 판별식과 최대 정수환의 전역 밀도를 유도하며, 오일러 곱과 제타 함수 항등식을 사용한다.
• Nakagawa의 이전 작업에서 발생한 오류를 수정하기 위해 $A_n$-확장에 대한 국소 밀도 계산을 정밀화함으로써, 그의 이론이 무분할 $A_n$-확장에 대해 재유효화된다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 높이 순서로 정렬된 정수 계수 이항 $n$-차 형식 중 판별식이 제곱-free인 경우의 자연 밀도는 $n \geq 2$일 때 얼마인가요?
• RQ2 관련 링 $R_f$가 분수체에서 최대 정수환인 기약 정수 계수 이항 $n$-차 형식의 밀도는 얼마인가요?
• RQ3 $\mathbb{P}^1_{\mathbb{Z}}$에 대해 산술 베르티니 정리가 성립하는가, 즉 정규적인 초평면 절단의 밀도가 $\zeta(2)^{-1}\zeta(3)^{-1}$ 인가요?
• RQ4 절대 판별식이 $X$ 이하인 차수 $n$의 수체 중 Galois 군이 $S_n$인 경우의 수에 대한 최선의 알려진 하한은 얼마인가요?
• RQ5 이전에 철회된 Nakagawa의 이차체 위의 무분할 $A_n$-확장에 대한 결과는 오류를 수정하고 복원할 수 있는가요?

주요 결과

• 정수 계수 이항 $n$-차 형식 중 판별식이 제곱-free인 밀도는 존재하며, 소수에 대한 오일러 곱으로 명시적으로 계산되며, $n=2$일 때 약 38.97%, $n=3$일 때 약 24.64%, $n=4$일 때 약 21.18%, $n \geq 5$일 때 약 20.83%이다.
• 관련 링 $R_f$가 분수체에서 최대 정수환인 기약 이항 $n$-차 형식의 밀도는 $n \geq 3$일 때 $\zeta(2)^{-1}\zeta(3)^{-1} \approx 50.57\%$이며, $n=2$일 때는 약 53.59%이다. 이는 $\mathbb{P}^1_{\mathbb{Z}}$에 대한 산술 베르티니 정리를 증명한다.
• 절대 판별식이 $X$ 이하인 차수 $n$의 $S_n$-수체의 수는 $\gg X^{1/2 + 1/(n-1)}$이며, 이는 이전의 하한 $\gg X^{1/2 + 1/n}$을 향상시킨다.
• 논문은 Nakagawa의 이전 작업에서 발생한 오류를 수정하여, 이론 3–4번([19])과 이론 2번([21])이 무분할 $A_n$-확장에 대해 재유효화됨을 보였다.
• 형식이 $p$에서 최대가 되는 국소 밀도 $\beta_n(p)$는 $n \geq 3$일 때 $\left(1 - \frac{1}{p^2}\right)\left(1 - \frac{1}{p^3}\right)$이며, $n=2$일 때는 $\left(1 - \frac{1}{p}\right)\left(1 + \frac{1}{p} - \frac{1}{p^3}\right)$이다. 이는 전역 밀도 계산의 기초가 된다.
• 주요 하한 결과에서 구성된 모든 수체는 제곱-free 판별식을 가질 수 있으며, 이는 제곱-free 판별식과 최대 정수환에 대한 결과를 연결한다.