[논문 리뷰] Squares and Cubes Modulo n

Steven R. Finch, Pascal Sebah|arXiv (Cornell University)|2006. 04. 21.

Mathematics and Applications참고 문헌 8인용 수 8

한 줄 요약

이 논문은 디리클레 급수에 세르베르그-델랑주 방법를 적용하여 정수 n에 대한 제곱수, 세제곱수, 원주율의 근의 점근적 분포를 조사한다. ℤₙ 및 ℤₙ*에서 x² ≡ 1 mod n 및 x³ ≡ 0 mod n 등의 방정식의 해 수와 같은 평균 제곱잉여수, 세제곱잉여수의 정확한 점근 공식을 도출하며, ζ(2), π 및 산술급수 내 소수에 대한 오일러乘수를 포함하는 명시적 상수를 제공한다.

ABSTRACT

We study the asymptotics of the average number of squares (or quadratic residues) in Z_n and Z_n^*. Similar analyses are performed for cubes, square roots of 0 and 1, and cube roots of 0 and 1.

연구 동기 및 목표

• 임의의 n에 대해 ℤₙ 및 ℤₙ*에서 제곱수, 세제곱수 및 특수 해(예: x² ≡ 1)의 평균 수를 체계적으로 분석하기 위해.
• 기존 표준 참고문헌에 쉽게 찾을 수 없는 이러한 평균 수의 명시적 점근 공식을 제공하여 문헌의 공백을 메우기 위해.
• 산술급수 위에서 산술함수에 대해 세르베르그-델랑주 방법과 디리클레 급수 기법을 적용하는 것을 보여주기 위해.
• 특히 3 및 8을 모듈로로 하여 산술급수 내 소수에 대한 오일러乘수의 수치 상수를 계산하고 문서화하기 위해.
• 특성합과 L-함수를 이용하여 고정밀도로 이러한 상수를 평가할 수 있는 통합 계산 프레임워크를 제공하기 위해.

제안 방법

• 디리클레 급수 ∑ φ(n)/n^{s+1} 에 세르베르그-델랑주 방법를 적용하여 ℤₙ* 내 원소의 점근적 수를 도출한다.
• 곱셈적 함수와 오일러乘수를 사용하여 x² ≡ 1 mod n 및 x³ ≡ 1 mod n 의 해 수를 ω(n), 즉 서로 다른 소인수의 개수로 표현한다.
• k = 2^m 또는 3^m 모듈로의 디리클레 특성 도입을 통해 산술급수로의 방법을 적응시켜 n ≡ ℓ mod k 를 분리한다.
• 디리클레 L-급수 L_χ(s) 와 관련 생성함수 F_χ(s) = G_χ(s) · L_χ(s)^z 를 구성하여 해의 점근 밀도를 모델링한다.
• 히르체브르흐 제타함수와 모비우스 역전환을 사용하여 로그합 P_{k,ℓ}(s) = ∑_{p≡ℓ mod k} log(1 - f(p)/p^s) 를 계산함으로써 무한곱의 고정밀도 평가를 가능하게 한다.
• 급수 전개 및 절단을 통한 수치 가속화를 시행하며, 수렴을 향상시키기 위해 알려진 초기 항(예: p = 31까지)을 빼내어 ∏_{p≡1 mod 3} (1 - 2/(p(p+1))) 와 같은 상수를 20자리 이상의 정밀도로 계산한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 양의 정수 n 이 변할 때 ℤₙ*에서 x² ≡ 1 의 해 수의 평균은 얼마인가요?
• RQ2 양의 정수 n 이 변할 때 ℤₙ*에서 x³ ≡ 1 의 해 수의 평균은 얼마인가요?
• RQ3 양의 정수 n 이 변할 때 ℤₙ에서 x² ≡ 0 의 해 수의 평균은 얼마인가요?
• RQ4 ℤₙ 및 ℤₙ*에서 제곱함수 y ↦ y² 의 상의 평균 수는 얼마인가요?
• RQ5 ℤₙ 및 ℤₙ*에서 세제곱함수 y ↦ y³ 의 상의 평균 수는 얼마인가요?

주요 결과

• ℤₙ*에서 x² ≡ 1 의 해 수의 평균은 N → ∞ 일 때 점근적으로 (6/π²) · N · ln N 이다.
• n ≡ 1, 3, 4, 5, 7 mod 8 일 때, ℤₙ*에서 x² ≡ 1 의 해 수는 2^{ω(n)} 이다; n ≡ 2, 6 mod 8 일 때는 2^{ω(n)−1} 이다; n ≡ 0 mod 8 일 때는 2^{ω(n)+1} 이다.
• ℤₙ*에서 x³ ≡ 1 의 해 수의 평균은 (1/ζ(3)) · N · (ln N)^{1/2} / Γ(1/2) 의 형태로 점근적으로 수렴하며, L-함수를 포함한 상수 인자에 의해 결정된다.
• ℤₙ에서 제곱함수 y ↦ y² 의 상의 평균 수는 점근적으로 (3/π²) · N² 이며, ∑_{n≤N} φ(n) 의 알려진 점근과 일치한다.
• ℤₙ*에서 세제곱함수 y ↦ y³ 의 상의 평균 수는 점근적으로 N · (ln N)^{1/3} / Γ(1/3) 에 비례하며, 이는 세제곱잉여수에 대해 세르베르그-델랑주 방법를 적용하여 유도된다.
• 상수 C = ∏_{p≡1 mod 3} (1 - 2/(p(p+1))) 는 고정밀도로 P_{3,1}(s) 를 평가하고 급수 가속화를 통해 20자리까지 계산하여 0.941034941319535451790... 로 도출되었다.