[논문 리뷰] Stabilisation de la formule des traces tordue VIII: l'application epsilon_tilde{M} sur un corps de base local non-archimédien

Jean-Loup Waldspurger|arXiv (Cornell University)|2014. 10. 05.

Holomorphic and Operator Theory인용 수 4

한 줄 요약

이 논문은 비아르키메데스 현수체 위에서의 왜곡된 트레이스 공식의 안정화를 위한 핵심 단계로, $\tilde{M}(F)$ 위에 값이 $\tilde{M}$-불변 측도인 캐논컬 함수 $\epsilon_{\tilde{M}}(f)$ 가 존재함을 확립한다. 이 함수는 왜곡된 군 $\tilde{G}$ 위에서의 엔도스코픽 및 기하적 가중 궤도 적분 간의 차이가 $\epsilon_{\tilde{M}}(f)$ 의 비가중 궤도 적분과 일치함을 보여준다. $\epsilon_{\tilde{M}}(f)$ 는 슈와르츠 유형이며, 컴팩트 열린 부분군에 대해 국소적으로 양측 불변임을 증명함으로써, 이후 트레이스 공식 기법의 적용이 가능해지며, 비아르키메데스 설정에서의 왜곡된 트레이스 공식의 안정화를 최종적으로 증명한다.

ABSTRACT

It is a step in the proof of the stabilization of the twisted trace formula. We generalize to the twisted case the proposition 3.1 of the third Arthur's paper on the stabilization. That is, consider the difference between an omega-equivariant weighted orbital integral (relative to a Levi subspace of a twisted space) and its endoscopic avatar. Then this difference is the ordinary omega-orbital integral of some function on the Levi subspace. Here, the base-field is non-archimedean.

연구 동기 및 목표

• 완전히 정의된 $\epsilon_{\tilde{M}}(f)$ 가 존재함을 보이되, 이는 $\tilde{G}$ 위에서 엔도스코픽 및 기하적 가중 궤도 적분의 차이가 $\epsilon_{\tilde{M}}(f)$ 의 비가중 궤도 적분과 일치함을 보장한다.
• 궤도 적분의 수렴성과 해석적 제어를 보장하기 위해, $\epsilon_{\partial{M}}(f)$ 가 충분한 정규성과 감쇠 성질을 가져야 함을 보장한다. 특히, $M(F)$ 의 고정된 컴팩트 열린 부분군에 대해 국소적으로 양측 불변이며, $\tilde{H}_{\tilde{M}}$ 에 의한 사상 아래에서 각 섬유 위에 컴팩트한 지지 집합을 가져야 한다.
• $\epsilon_{\tilde{M}}(f)$ 가 섹션 1.7에서 정의된 슈와르츠 유형임을 증명함으로써, 이후 트레이스 공식 응용에서의 수렴성과 해석적 제어를 보장한다.
• 엔도스코픽 항과 기하적 항 간의 격차를 포괄하는 궤도 적분을 갖는 함수를 구성함으로써, 비아르키메데스 설정에서 왜곡된 트레이스 공식의 안정화를 위한 기초 단계를 마련한다.
• 반드시 반지름이 유한한 국소적 구성(반순수 원소 근처)과 양호한 감쇠 성질을 갖는 전역적 구성(전역적 감쇠 제어)을 파artition of unity를 통해 결합하여, 전역적으로 잘 정의된 함수 $\epsilon_{\tilde{M}}(f)$ 를 얻는다.

제안 방법

• 왜곡된 가중 궤도 적분 $I_{\tilde{M}}^{\tilde{G}}(\gamma,\omega,f)$ 와 그 엔도스코픽 동반자 $I_{\tilde{M}}^{\tilde{G},{\cal E}}(\gamma,\omega,f)$ 를 정의하고, 그 차이를 고려한다.
• $c$-궤도 적분 ${}^{c}I_{\tilde{M}}^{\tilde{G}}$ 의 이론을 이용하여, $I^{\tilde{M}}(\gamma,\omega,\epsilon_{\tilde{M}}(f)) = I_{\tilde{M}}^{\tilde{G},{\cal E}}(\gamma,\omega,f) - I_{\tilde{M}}^{\tilde{G}}(\gamma,\omega,f)$ 를 만족하는 $\tilde{M}(F)$ 위의 함수 $\epsilon_{\tilde{M}}(f)$ 를 구성한다.
• $c$-궤도 적분이 콘jugation에 대해 컴팩트하게 지지되어 있음을 이용하여, 반지름이 유한한 국소적 구성(반순수 원소 근처)과 전역적 감쇠 제어가 되는 구성의 조합을 파artition of unity 를 통해 전역 함수 $\epsilon_{\tilde{M}}(f)$ 를 정의한다.
• 섹션 1.7에서 정의된 조건을 만족함을 보여 $\epsilon_{\tilde{M}}(f)$ 가 슈와르츠 유형임을 증명함으로써, 트레이스 공식 응용에서의 해석적 제어를 보장한다.
• $\epsilon_{\tilde{M}}(f)$ 를 $\tilde{M}$ 에 대해 트레이스 공식에 적용하고, 궤도 적분이 안정적 콘jugation 클래스에서 0이 됨을 이용하여, $\epsilon_{\tilde{M}}(f)$ 가 쿠스피달임을 보이고, 따라서 0이 됨을 증명함으로써 안정화를 완료한다.
• 이전 연구에서의 셀리카 기름과 엔도스코픽 전이 결과를 활용하여, 반순수 원소 근처에서 요구 조건을 만족하는 국소 함수의 존재를 보장한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 엔도스코픽 및 기하적 가중 궤도 적분의 차이가 $\epsilon_{\tilde{M}}(f)$ 의 비가중 궤도 적분과 일치하는 $\tilde{M}(F)$ 위의 함수 $\epsilon_{\tilde{M}}(f)$ 를 구성할 수 있는가?
• RQ2 궤도 적분의 수렴성과 해석적 성질을 보장하기 위해 $\epsilon_{\tilde{M}}(f)$ 가 만족해야 할 정규성 및 감쇠 성질은 무엇인가?
• RQ3 반순수 원소 근처의 국소적 구성과 양호한 감쇠 성질을 갖는 전역적 구성 간의 조합을 어떻게 통해 전역적으로 잘 정의된 함수 $\epsilon_{\tilde{M}}(f)$ 를 얻을 수 있는가?
• RQ4 $\epsilon_{\tilde{M}}(f)$ 가 슈와르츠 유형임을 보장할 수 있으며, 이는 트레이스 공식 적용에서 어떤 의미를 갖는가?
• RQ5 $\epsilon_{\tilde{M}}(f)$ 가 모든 안정 분포에 대해 통합될 때 0이 되는가? 이는 왜곡된 트레이스 공식의 안정화를 의미하는가?

주요 결과

• $\epsilon_{\tilde{M}}(f)$ 가 존재하며, 모든 강한 정규 $\gamma \in \tilde{M}(F)$ 에 대해 $I^{\tilde{M}}(\gamma,\omega,\epsilon_{\tilde{M}}(f)) = I_{\tilde{M}}^{\tilde{G},{\cal E}}(\gamma,\omega,f) - I_{\tilde{M}}^{\tilde{G}}(\gamma,\omega,f)$ 를 만족한다.
• $\epsilon_{\tilde{M}}(f)$ 는 $M(F)$ 의 고정된 컴팩트 열린 부분군에 대해 국소적으로 양측 불변이며, 궤도 적분에서의 콘jugation 불변성을 보장한다.
• $\tilde{H}_{\tilde{M}}: \tilde{M}(F) \to \tilde{{\cal A}}_{\tilde{M}}$ 의 각 섬유에 제한된 $\epsilon_{\tilde{M}}(f)$ 는 컴팩트하게 지지되어 있으며, 궤도 적분을 정의하는 데 필수적이다.
• $\epsilon_{\tilde{M}}(f)$ 는 섹션 1.7에서 정의된 대로 슈와르츠 유형이며, 트레이스 공식 응용에서의 수렴성과 해석적 제어를 보장한다.
• $\epsilon_{\tilde{M}}(f)$ 는 트레이스 공식을 적용하고 내림내림 관계를 이용하여 쿠스피달임을 증명하였으며, 이는 안정 분포에 대한 통합에서 0이 됨을 의미한다.
• $\epsilon_{\tilde{M}}(f)$ 는 $^{c}\theta_{\tilde{M}}^{\tilde{G},{\cal E}}(f) - {}^{c}\theta_{\tilde{M}}^{\tilde{G}}(f)$ 와 컴팩트하게 지지된 함수의 합으로 표현되며, 이는 정규성과 적분 가능성의 확인을 보여준다.