[논문 리뷰] Stabilising nontrivial solutions of the generalised Kuramoto-Sivashinsky equation using feedback and optimal control

Susana N. Gomes, Demetrios T. Papageorgiou외 1명|arXiv (Cornell University)|2015. 05. 22.

Nonlinear Dynamics and Pattern Formation참고 문헌 11인용 수 3

한 줄 요약

이 논문은 전기장과 분산 효과가 있는 박막 유동을 모델링하는 일반화된 Kuramoto-Sivashinsky 방정식에서 비자명한 정 steady 상태—예를 들어 진행파—를 안정화하기 위한 엄밀한 피드백 및 최적 제어 프레임워크를 제시한다. 임의의 불안정한 해가 유한한 수의 점형 액추에이터를 사용하여 안정화될 수 있음을 증명하며, 필요한 액추에이터 수는 불안정한 모드의 수와 관련이 있으며, 점성도와 전기장 강도를 포함한 매개변수 변화에 대해서도 안정성을 유지함을 보여준다.

ABSTRACT

The problem of controlling and stabilising solutions to the Kuramoto-Sivashinsky equation is studied in this paper. We consider a generalised form of the equation in which the effects of an electric field and dispersion are included. Both the feedback and optimal control problems are studied. We prove that we can control arbitrary nontrivial steady states of the Kuramoto-Sivashinsky equation, including travelling wave solutions, using a finite number of point actuators. The number of point actuators needed is related to the number of unstable modes of the equation. Furthermore, the proposed control methodology is shown to be robust with respect to changing the parameters in the equation, e.g. the viscosity coefficient or the intensity of the electric field. We also study the problem of controlling solutions of coupled systems of Kuramoto-Sivashinsky equations. Possible applications to controlling thin film flows are discussed. Our rigorous results are supported by extensive numerical simulations.

연구 동기 및 목표

• 일반화된 Kuramoto-Sivashinsky 방정식에서 진행파를 포함한 비자명한 정 steady 상태 해를 안정화하는 제어 전략을 개발한다.
• 유한한 수의 점형 액추에이터를 사용하여 이러한 해를 안정화하는 최적 제어의 존재성을 확립한다.
• 점성도와 전기장 강도와 같은 핵심 물리적 매개변수의 변화에 대한 제어 방법론의 강건성을 조사한다.
• Kuramoto-Sivashinsky 방정식의 결합된 시스템에 제어 프레임워크를 확장한다.
• 박막 유동과 관련된 복잡하고 혼돈적인 PDE 시스템에서 제어에 대한 엄밀한 수학적 기초를 마련한다.

제안 방법

• Hilbert 변환 연산자와 추가적인 비선형 항을 사용하여 분산과 전기장 효과를 고려한 일반화된 Kuramoto-Sivashinsky 방정식을 수립한다.
• 선형화된 시스템에서 불안정한 모드의 수에 따라 결정되는 유한한 수의 점형 액추에이터를 사용한 피드백 제어를 적용한다.
• 제어 에너지와 상태 편차를 최소화하기 위한 2차 비용 함수를 사용한 최적 제어 문제를 개발한다.
• Hilbert 공간 설정에서 최적 제어의 존재성을 보일 수 있도록 Galerkin 근사와 약한 수렴 기법을 사용한다.
• 근사 해의 수렴성을 보장하기 위해 컴팩트 임bedding과 유계성 추정 기법을 활용한다.
• 다양한 매개변수 영역와 액추에이터 구성에서 광범위한 수치 시뮬레이션을 통해 이론적 결과를 검증한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 일반화된 Kuramoto-Sivashinsky 방정식의 임의의 비자명한 정 steady 상태는 오직 유한한 수의 점형 액추에이터만으로 안정화될 수 있는가?
• RQ2 필요한 액추에이터 수는 시스템의 불안정한 모드 수와 어떻게 비례하는가?
• RQ3 제안된 제어 방법론은 점성도와 전기장 강도와 같은 물리적 매개변수의 변화에 강건한가?
• RQ4 최적 제어 프레임워크는 Kuramoto-Sivashinsky 방정식의 결합된 시스템으로 확장될 수 있는가?
• RQ5 시스템 매개변수의 불확실성 또는 노이즈가 있는 조건에서 제어 성능은 어떻게 유지되는가?

주요 결과

• 비자명한 정 steady 상태를 안정화하기 위해 필요한 점형 액추에이터의 수는 선형화된 시스템에서의 불안정한 모드 수에 직접 비례한다.
• 2차 비용 함수 하에서 일반화된 Kuramoto-Sivashinsky 방정식에 대해 최적 제어의 존재성이 엄밀히 증명되었다.
• 제어 방법론은 점성도 계수와 전기장 강도의 변화에 대해 강건하며, 다양한 매개변수 영역에서 안정성을 유지한다.
• 수치 시뮬레이션은 이론적 예측을 확인하고 혼돈성 및 진행파 해의 효과적인 안정화를 보여준다.
• 이 프레임워크는 Kuramoto-Sivashinsky 방정식의 결합된 시스템으로 확장 가능하여 더 복잡한 시공간 역학 제어가 가능하다.
• 결과는 상태 정보가 불완전한 시스템에 대한 피드백 제어 기반을 마련하며, 유한 관측 설정으로의 확장은 현재 개발 중이다.