[논문 리뷰] Stability analysis and stabilization of LPV systems with jumps and (piecewise) differentiable parameters using continuous and sampled-data controllers

Corentin Briat|arXiv (Cornell University)|2017. 04. 28.

Stability and Control of Uncertain Systems인용 수 5

한 줄 요약

이 논문은 점프가 있는 선형 매개변수 변화 시스템(LPV)과 조각별 미분 가능한 매개변수를 갖는 시스템에 대해 시계 및 매개변수에 의존하는 리아푸노프 함수를 사용하여 안정성 및 정규화 프레임워크를 제안한다. 최소 및 범위 주기 조건을 도입하여 이차적이고 강건한 안정성의 통합을 가능하게 하여, 다항식의 제곱(sum-of-squares, SOS) 프로그래밍을 통한 보다 덜 보수적인 분석 및 제어기 설계를 실현하였으며, 샘플드 데이터 및 연속 제어기 하에서 안정성이 보장되는 수치 예제를 통해 검증되었다.

ABSTRACT

Linear Parameter-Varying (LPV) systems with jumps and piecewise differentiable parameters is a class of hybrid LPV systems for which no tailored stability analysis and stabilization conditions have been obtained so far. We fill this gap here by proposing an approach based on a clock- and parameter-dependent Lyapunov function yielding stability conditions under both constant and minimum dwell-times. Interesting adaptations of the latter result consist of a minimum dwell-time stability condition for uncertain LPV systems and LPV switched impulsive systems. The minimum dwell-time stability condition is notably shown to naturally generalize and unify the well-known quadratic and robust stability criteria all together. Those conditions are then adapted to address the stabilization problem via timer-dependent and a timer- and/or parameter-independent (i.e. robust) state-feedback controllers, the latter being obtained from a relaxed minimum dwell-time stability condition involving slack-variables. Finally, the last part addresses the stability of LPV systems with jumps under a range dwell-time condition which is then used to provide stabilization conditions for LPV systems using a sampled-data state-feedback gain-scheduled controller. The obtained stability and stabilization conditions are all formulated as infinite-dimensional semidefinite programming problems which are then solved using sum of squares programming. Examples are given for illustration.

연구 동기 및 목표

• 점프와 조각별 미분 가능한 매개변수를 갖는 LPV 시스템에 대해 특화된 안정성 및 정규화 조건의 부족을 해결하기 위해.
• 최소 주기 조건을 통한 최소 주기 제약 조건을 통해 이차적 안정성과 강건 안정성 기준을 일반화하고 통합하는 통합 프레임워크를 개발하기 위해.
• 슬랙 변수를 활용한 완화된 조건을 통해 타이머에 의존하는 제어기와 강건한 상태피드백 제어기를 설계할 수 있도록 하기 위해.
• 실제 적용을 위한 샘플드 데이터 제어를 위해 범위 주기 조건을 적용하여 결과를 확장하기 위해.
• 모든 조건을 무한차원 정수형 프로그래밍으로 공식화하고, 이를 다항식의 제곱(SOS) 최적화를 통해 해결하기 위해.

제안 방법

• 고정 및 최소 주기 조건 하에서 안정성을 분석하기 위해 시계 및 매개변수에 의존하는 리아푸노프 함수를 사용한다.
• 이차적 안정성과 강건 안정성을 일반화하는 최소 주기 조건을 유도하며, 불확실한 LPV 및 스위치된 인력 시스템에 적용 가능하다.
• 슬랙 변수를 도입한 완화된 최소 주기 조건을 제안하여, 타이머 및 매개변수 변화에 영향을 받지 않는 강건한 상태피드백 제어기를 설계할 수 있도록 한다.
• 샘플드 데이터 제어 하에서 안정성을 분석하기 위해 범위 주기 조건을 적용하여, 게인 스케줄링 제어기 설계를 가능하게 한다.
• 모든 안정성 및 정규화 조건을 다항식의 제곱(SOS) 프로그래밍을 통해 해결 가능한 무한차원 정수형 프로그래밍으로 변환한다.
• 다항식 매개변수화와 SOS 기반 최적화를 활용하여 안정성 마진이 보장되는 제어기를 계산한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 점프와 조각별 미분 가능한 매개변수를 갖는 LPV 시스템에 대해, 이차적 또는 강건 기준보다 덜 보수적인 안정성 조건를 도출할 수 있는가?
• RQ2 최소 주기 조건은 어떻게 기존의 LPV 시스템 안정성 기준을 통합하고 일반화하는가?
• RQ3 슬랙 변수를 활용한 완화된 주기 조건 하에서 강건하고 타이머에 의존하는 상태피드백 제어기를 설계할 수 있는가?
• RQ4 범위 주기 조건은 불연속적인 매개변수를 갖는 LPV 시스템의 샘플드 데이터 정규화에 어떤 역할을 하는가?
• RQ5 다항식의 제곱(SOS) 프로그래밍은 이러한 하이브리드 LPV 시스템에 대해 얼마나 널리 적용되어 안정화 제어기를 계산할 수 있는가?

주요 결과

• 제안된 최소 주기 조건은 이차적 안정성과 강건 안정성 기준을 일반화하고 통합하여, 안정성 분석을 위한 덜 보수적인 프레임워크를 제공한다.
• 슬랙 변수를 활용한 완화된 최소 주기 조건은 타이머 및 매개변수 변화에 영향을 받지 않는 강건한 상태피드백 제어기를 설계할 수 있도록 한다.
• 예제 22에서, 이 방법은 [0.001, 0.6] 범위의 모든 주기에서 시스템을 안정화하며, 이는 이전 결과가 입력 지연 모델을 사용해 최대 주기 0.6을 요구한 것보다 우수하다.
• 예제 23에서, 이 방법은 최소 주기 T_max = 2.0까지 안정화를 달성하였으며, 이는 이전 최고 성능인 T_max = 1.349를 뛰어넘어 상당한 향상을 보였다.
• SOS 기반 접근법은 최대 9618개의 원형 변수와 966개의 이중 변수를 포함하는 문제를 37초 이내에 해결하여, 대규모 SDP 근사화에도 불구하고 계산 가능성을 입증하였다.
• 시뮬레이션 결과는 예제 23에서 랜덤 주기 [0.001, 0.4] 하에서도 폐루프 안정성이 확인되었으며, 샘플드 데이터 제어기 설계의 실용적 적용 가능성을 검증하였다.