[논문 리뷰] Stability analysis for a class of linear systems governed by difference equations

Sérine Damak, Michaël Di Loreto외 2명|arXiv (Cornell University)|2013. 12. 27.

Stability and Control of Uncertain Systems참고 문헌 8인용 수 3

한 줄 요약

이 논문은 다중 지연을 가진 연속시간 차분방정식으로 지배되는 선형 시스템에 대해 지수 안정성을 분석하기 위해 르아풀노프-크라소프스키 접근법을 제시한다. 지수 안정성을 위한 충분조건으로 LMI 기반 조건을 수립하였으며, 동일한 지연의 경우 필수 및 필요충분 조건을 유도하였고, 매개변수 불확실성과 시간에 따라 변하는 지연 하에서의 감쇠률 추정 및 내구성 분석을 제공한다.

ABSTRACT

Linear systems governed by continuous-time difference equations cover a wide class of linear systems. From the Lyapunov-Krasovskii approach, we investigate stability for such a class of systems. Sufficient conditions, and in some particular cases, necessary and sufficient conditions for exponential stability are established, for multivariable systems with commensurate or rationally independent delays. A discussion on robust stability is proposed, for parametric uncertainties and time-varying delays.

연구 동기 및 목표

• 다중 지연을 가진 연속시간 차분방정식으로 지배되는 선형 시스템의 지수 안정성에 대한 충분조건을 개발하기 위해.
• 동일한 지연의 경우 지수 안정성에 대한 필요 및 충분 조건을 도출하기 위해.
• 매개변수 불확실성과 시간에 따라 변하는 지연을 가진 시스템으로 안정성 분석을 확장하기 위해.
• 르아풀노프-크라소프스키 함수를 사용하여 지수 감쇠률의 추정을 제공하기 위해.
• 노름 유계 매개변수 불확실성과 시간에 따라 변하는 지연 하에서 안정성의 내구성을 확보하기 위해.

제안 방법

• 지연이 다수 존재하는 시스템 $ x(t) = \sum_{k=1}^{N} A_k x(t - r_k) $ 를 기반으로 르아풀노프-크라소프스키 함수 방법을 활용하여 안정성 분석을 수행한다.
• 행렬 변수 $ Q_k $ 와 $ \eta $ 를 포함한 르아풀노프 함수를 사용하여 지수 안정성에 대한 충분한 LMI 조건을 유도한다.
• 지연이 동일한 경우, 스펙트럼 반경 분석에 기반하여 지수 안정성에 대한 필요 및 충분 조건을 수립한다.
• 스펙트럼 분석 및 반바흐 대수 기법을 적용하여 시스템 분포 $ g(t) = \delta(t) - \sum A_k \delta(t - r_k) $ 의 유계성과 가역성을 증명한다.
• 라플라스 변환과 커플라션을 사용하여 해를 $ x(t) = h(t) \ast \psi(t) $ 로 표현하며, $ h \in \ell_1^{n \times n} $ 이므로 유계성을 보장한다.
• 지수 감쇠율 $ \gamma < \mu $ 을 증명하기 위해 변환된 변수 $ z(t, \varphi) = e^{\gamma t} x(t, \varphi) $ 를 도입하며, 여기서 $ \mu $ 는 LMI 조건에서 유도된다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 다중 지연을 가진 선형 시스템에서 지수 안정성을 위한 충분한 LMI 기반 조건은 무엇인가? (차분방정식으로 지배됨)
• RQ2 특히 동일한 지연의 경우, 안정성 기준이 필요 및 충분 조건이 되는 조건은 무엇인가?
• RQ3 기존의 LMI 기반 결과에 비해 지수 감쇠률의 추정과 개선은 어떻게 이루어질 수 있는가?
• RQ4 매개변수 불확실성과 시간에 따라 변하는 지연 하에서 안정성 기준의 내구성은 어떻게 평가되는가?
• RQ5 함수해석학과 라플라스 변환 기법을 사용하여 해가 유계이면서 지수 감쇠하는 것으로 증명될 수 있는가?

주요 결과

• 공변수나 유리수로 독립된 지연을 가진 다변수 선형 시스템의 지수 안정성에 대한 충분한 LMI 조건이 수립되었다.
• 동일한 지연의 경우, 스펙트럼 반경 부등식으로 표현된 지수 안정성에 대한 필요 및 충분 조건이 도출되었다.
• 지수 감쇠률 $ \gamma $ 는 LMI 조건을 통해 추정되었으며, $ \|\varphi\|_c = 2 $ 인 경우 $ \|x_t(\varphi)\|_{L_2} \leq 4.9125 \|\varphi\|_c e^{-\gamma t} $ 를 만족함을 예제 7에서 보여주었다.
• 매개변수의 노름 유계 불확실성에 대한 내구성 분석을 수행하였으며, 작은 변동 하에서도 안정성이 유지됨을 확인하였다.
• 시간에 따라 변하는 지연을 가진 시스템으로 지수 안정성에 대한 충분 조건을 변환된 변수 접근법을 통해 확장하였다.
• 시스템 분포 $ g $ 가 반바흐 대수 $ \ell_1^{n \times n} $ 에서 가역임을 증명함으로써 해 $ x(t, \varphi) $ 가 유계이면서 지수 감쇠함을 입증하였다.