[논문 리뷰] Stability Analysis of Discrete-Time Linear Complementarity Systems

Arvind U. Raghunathan, Jeff Linderoth|arXiv (Cornell University)|2020. 12. 24.

Formal Methods in Verification참고 문헌 36인용 수 5

한 줄 요약

이 논문은 상태 변수에만 의존하거나 상태 변수와 대수적 변수 양쪽에 의존하는 이차 리아푸노프 함수를 사용하여 이산시간 선형 보조조건 시스템(DLCS)의 리아푸노프 안정성을 검증하기 위한 최초의 정확한 알고리즘을 제안한다. 이 방법은 비볼록 코너 위에서 코포지티브 프로그래밍으로의 안정성 검증 문제로 환원되며, 타당성은 새로운 컷 평면 알고리즘을 통해 확인된다. 또한, 작은 시간 간격에서 시간 스텝 방식을 사용할 경우 LCS와 DLCS의 안정성 간에 등가성을 입증한다.

ABSTRACT

A Discrete-Time Linear Complementarity System (DLCS) is a dynamical system in discrete time whose state evolution is governed by linear dynamics in states and algebraic variables that solve a Linear Complementarity Problem (LCP). The DLCS is the hybrid dynamical system that is the discrete-time counterpart of the well-known Linear Complementarity System (LCS). We derive sufficient conditions for Lyapunov stability of a DLCS when using a quadratic Lyapunov function that depends only on the state variables and a quadratic Lyapunov function that depends both on the state and the algebraic variables. The sufficient conditions require checking the feasibility of a copositive program over nonconvex cones. Our results only assume that the LCP is solvable and do not require the solutions to be unique. We devise a novel, exact cutting plane algorithm for the verification of stability and the computation of the Lyapunov functions. To the best of our knowledge, our algorithm is the first exact approach for stability verification of DLCS. A number of numerical examples are presented to illustrate the approach. Though our main object of study in this paper is the DLCS, the proposed algorithm can be readily applied to the stability verification of LCS. In this context, we show the equivalence between the stability of a LCS and the DLCS, resulting from a time-stepping procedure applied to the LCS for all sufficiently small time steps.

연구 동기 및 목표

• 이산시간 선형 보조조건 시스템(DLCS)의 리아푸노프 안정성을 정확하고 엄밀하게 검증하기 위한 방법을 개발한다. DLCS는 선형 동역학과 보조조건 제약 조건에 의해 지배되는 하이브리드 시스템이다.
• 유일한 해를 요구하지 않는 보조조건 문제에 대해서도 리아푸노프 안정성 분석을 DLCS로 확장하여 실제 하이브리드 시스템에 대한 적용 가능성을 넓힌다.
• 유일한 해를 요구하지 않는 보조조건 문제에 대해서도 정확하게 안정성 검증 및 리아푸노프 함수 계산이 가능한 새로운 컷 평면 알고리즘을 제안한다. 이는 근사화 또는 이완 기반 접근 방식의 한계를 극복한다.
• 충분히 작은 시간 간격에서 시간 이산화를 통해 유도된 DLCS와 연속시간 선형 보조조건 시스템(LCS) 간의 안정성 등가성을 확립한다.
• 접촉, 마찰 또는 스위칭 행동을 모델링하는 보조조건 제약 조건을 포함하는 로봇, 기계, 전기 회로 제어 시스템에 적용 가능한 계산 프레임워크를 제공한다.

제안 방법

• 논문은 상태 변수에만 의존하거나 상태 및 대수적 변수 양쪽에 의존하는 이차 리아푸노프 함수로부터 유도된 비볼록 코너 위에서 코포지티브 프로그래밍을 이용한 타당성 문제로 안정성 검증을 수립한다.
• 두 가지 유형의 리아푸노프 함수를 도입한다: 상태 변수에만 의존하는 공통 이차 리아푸노프 함수(CQLF)와 상태 및 보조조건 변수에 모두 의존하는 확장 이차 리아푸노프 함수(EQLF).
• S-레마를 활용하여 코포지티브 조건을 선형 행렬 부등식(LMI)으로 이완함으로써, 볼록 이완 기법을 통해 리아푸노프 함수의 효율적 계산이 가능해진다.
• 비볼록 코포지티브 프로그래밍을 정확하게 해결하기 위한 새로운 컷 평면 알고리즘을 제안한다. 이 알고리즘은 반복적으로 타당 영역를 정밀화하며, 해가 존재할 경우 수렴을 보장한다.
• 알고리즘은 보조조건 제약 조건의 비볼록 구조를 다룰 수 있도록 설계되었으며, 근사화나 이완에 의존하지 않고 정확한 성능을 보임을 증명하였다.
• 이 접근법은 시간 간격이 충분히 작을 경우 연속시간 LCS의 안정성과 그 시간 이산화된 DLCS의 안정성 간에 등가성을 보여주기 위해 확장되었다. 이는 명시적, 암시적, 또는 트라프레지oidal 오일러 스킴을 사용하여 수행된다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 유일한 해를 요구하지 않는 보조조건 문제에 대해서도 근사화나 이완에 의존하지 않고 DLCS의 리아푸노프 안정성을 정확하게 검증할 수 있는가?
• RQ2 상태 변수에만 의존하거나 상태 및 대수적 변수 양쪽에 의존하는 이차 리아푸노프 함수를 사용할 때 DLCS의 리아푸노프 안정성에 대한 충분조건는 무엇인가?
• RQ3 안정성 검증 문제는 비볼록 코너 위에서 코포지티브 프로그래밍으로 어떻게 수식화할 수 있으며, 이를 해결하는 데 필요한 계산 복잡도는 어떻게 되는가?
• RQ4 보조조건 문제의 해가 유일하지 않을 경우에도 리아푸노프 함수를 계산하고 안정성 검증이 가능한 정확한 알고리즘이 존재하는가?
• RQ5 연속시간 LCS의 안정성이 충분히 작은 시간 간격에서 시간 이산화된 DLCS의 안정성과 동치가 되는가? 그 반대의 경우도 마찬가지인가?

주요 결과

• 논문은 보조조건 문제가 비유일한 해를 가질 경우에도 적용 가능한, DLCS의 리아푸노프 안정성에 대한 충분조건를 확립한다.
• 안정성 검증 문제는 비볼록 코너 위에서 코포지티브 프로그래밍의 타당성 확인 문제로 환원되며, 이는 계산적으로 도전적이지만 제안된 알고리즘을 통해 해결 가능하다.
• 제안된 컷 평면 알고리즘은 DLCS 안정성 검증을 위한 최초의 정확한 방법으로, 이완 갭 없이 리아푸노프 함수 계산과 안정성 검증이 가능하다.
• 이 방법은 수치 예제에서 리아푸노프 함수를 성공적으로 계산하여 보조조건 제약 조건을 포함하는 시스템에 대한 실용적 적용 가능성을 입증한다.
• 논문은 시간 간격이 충분히 작을 경우 명시적, 암시적, 또는 트라프레지oidal 오일러 스킴을 사용할 때 연속시간 LCS의 안정성과 그 시간 이산화된 DLCS의 안정성 간에 등가성을 증명한다.
• S-레마 기반의 이완을 LMI로 변환함으로써 리아푸노프 함수의 효율적 계산이 가능해지며, 컷 평면의 정밀화 과정을 통해 안정성 검증의 정확성이 유지된다.