[논문 리뷰] Stability Analysis of Infinite-dimensional Event-triggered and Self-triggered Control Systems with Lipschitz Perturbations

Masashi Wakaiki, Hideki Sano|arXiv (Cornell University)|2019. 11. 28.

Stability and Controllability of Differential Equations참고 문헌 41인용 수 7

한 줄 요약

이 논문은 피드백 연산자가 컴팩트하다는 가정 하에, 소규모 리프시츠 불안정성에 대한 무한차원 이벤트 트리거링 및 자기 트리거링 제어 시스템의 지수 안정성을 확립한다. 적절하게 선택된 트리거링 매개변수를 사용할 경우, 모든 충분히 작은 리프시츠 상수에 대해 안정성이 유지됨을 증명하며, 유계 및 비유계 제어 연산자 케이스 모두에서 지수 안정성을 위한 명시적 충분 조건을 제공한다. 특히 주기적인 이벤트 트리거링 메커니즘에 대해 유의미한 결과를 도출한다.

ABSTRACT

This paper addresses the following question: "Suppose that a state-feedback controller stabilizes an infinite-dimensional linear continuous-time system. If we choose the parameters of an event/self-triggering mechanism appropriately, is the event/self-triggered control system stable under all sufficiently small nonlinear Lipschitz perturbations?" We assume that the stabilizing feedback operator is compact. This assumption is used to guarantee the strict positiveness of inter-event times and the existence of the mild solution of evolution equations with unbounded control operators. First, for the case where the control operator is bounded, we show that the answer to the above question is positive, giving a sufficient condition for exponential stability, which can be employed for the design of event/self-triggering mechanisms. Next, we investigate the case where the control operator is unbounded and prove that the answer is still positive for periodic event-triggering mechanisms.

연구 동기 및 목표

• 정착 피드백 연산자가 컴팩트할 경우, 이벤트/자기 트리거링 제어 시스템이 소규모 리프시츠 불안정성에 대해 지수 안정성을 유지하는지 조사하는 것.
• 무한차원 시스템에서 제로 조건(zeno behavior)을 방지하기 위해 이벤트 간 간격의 엄밀한 양수성을 확보하는 것.
• 주기적인 이산 샘플링 시스템에서의 강건성 결과를 비유계 제어 연산자를 가진 이벤트/자기 트리거링 제어로 확장하는 것.
• 유계 제어 연산자 케이스에서 트리거링 매개변수와 불안정성 한계를 바탕으로 지수 안정성을 위한 명시적 충분 조건을 도출하는 것.

제안 방법

• 미드 솔루션의 존재성과 이벤트 간 간격의 엄밀한 하한을 확보하기 위해 피드백 연산자 F가 컴팩트하다고 가정한다.
• 소규모 L에 대해 ‖φ(ξ₁)−φ(ξ₂)‖ ≤ L‖ξ₁−ξ₂‖ 를 만족하는 리프시츠 불안정성 φ를 분석한다.
• 유계 제어 연산자에 대해, W(h) < γ 와 매개변수 의존 부등식을 포함하는 충분 조건을 유도하여 지수 안정성을 보장한다.
• 비유계 제어 연산자에 대해, 스펙트럼 성질과 셈그룹 이론을 이용하여 주기적 이벤트 트리거링 메커니즘 하에서 지수 안정성을 증명한다.
• 트리거링 간 간격에서 상태의 진동을 제어하기 위해 가중치를 적용한 라플라스 유형의 추론을 사용한다.
• 특히 전이 연산자 ∆h의 거듭제곱 안정성에 관한 결과를 활용하여, 주기적 이산 샘플링 시스템의 결과를 적용해 강건성을 확립한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 정착 피드백이 있는 무한차원 시스템에서, 이벤트/자기 트리거링 제어 시스템이 소규모 리프시츠 불안정성에 대해 지수 안정성을 유지하는가?
• RQ2 정착 피드백 하에서 최소 이벤트 간 간격이 엄밀히 양수일 수 있는가? 이는 제로 조건을 방지한다.
• RQ3 제어 연산자가 비유계일 경우, 특히 주기적 이벤트 트리거링 하에서 지수 안정성이 불안정성에 대해 강건한가?
• RQ4 유계 제어 연산자 케이스에서 트리거링 매개변수(ε, h)에 대한 명시적 조건은 무엇이어야 지수 안정성을 보장하는가?
• RQ5 이산 샘플링 시스템에서의 결과를 비유계 연산자를 가진 이벤트/자기 트리거링 제어로 확장할 수 있는가?

주요 결과

• 피드백 연산자가 컴팩트할 경우, 충분히 작은 리프시츠 상수 L을 가진 모든 리프시츠 불안정성에 대해 지수 안정성이 유지된다.
• 유계 제어 연산자 케이스에서, (58)에 포함된 W(h), γ, 및 불안정성 항을 포함하는 부등식을 만족할 경우 지수 안정성에 대한 충분 조건이 도출되며, 이는 작은 ε 및 L에 대해 안정성을 보장한다.
• 피드백 연산자의 컴팩트성 덕분에 최소 이벤트 간 간격이 엄밀히 양수이므로 제로 조건이 방지된다.
• 비유계 제어 연산자 케이스에서, 주기적 이벤트 트리거링 메커니즘이 동일한 소규모 불안정성 조건 하에서도 지수 안정성을 유지한다.
• 주기적 이산 샘플링 시스템이 안정할 경우, 적절한 ε 및 h를 사용하면 주기적 이벤트 트리거링 시스템 역시 안정함을 보여, 안정성 결과가 샘플링에 대해 강건함을 입증한다.
• 코로나리 4.8에서 ε 및 h에 대한 명시적 경계가 유도되었으며, 이는 충분히 작은 불안정성과 샘플링 간격에서 안정성이 유지됨을 보여준다.