[논문 리뷰] Stability analysis of semiconductor manufacturing process with EWMA run-to-run controllers

Bing Ai, David Shan‐Hill Wong외 1명|arXiv (Cornell University)|2015. 10. 30.

Advanced Control Systems Optimization참고 문헌 26인용 수 3

한 줄 요약

이 논문은 반도체 제조의 런-투-런 공정에서 측정 지연에 의한 안정성 문제를 해결하기 위해 EWMA-I 및 EWMA-II 제어기를 제안한다. Routh-Hurwitz 및 르아프노프의 직접 방법을 사용하여 단일 및 혼합 제품 공정에서의 확률적 안정성에 대한 必要하고도 충분한 조건을 확립하며, 고정 및 확률적 지연 조건 하에서의 해석적 안정성 영역을 제공한다.

ABSTRACT

In the semiconductor manufacturing batch processes, each step is a complicated physiochemical batch process; generally it is difficult to perform measurements online or carry out the measurement for each run, and hence there will be delays in the feedback of the system. The effect of the delay on the stability of the system is an important issue which needs to be understood. Based on the exponentially weighted moving average (EWMA) algorithm, we propose two kinds of controllers, EWMA-I and II controllers for single product process and mixed product process in semiconductor manufacturing in this paper. For the single product process, the stabilities of systems with both controllers which undergo different kinds of metrology delays are investigated. Necessary and sufficient conditions for the stochastic stability are established. Routh-Hurwitz criterion and Lyapunov's direct method are used to obtain the stability regions for the system with fixed metrology delay. By using Lyapunov's direct method, the stability region is established for the system with fixed sampling metrology and with stochastic metrology delay. We also extended the theorems of single product process to mixed product process. Based on the proposed theorems, some numerical examples are provided to illustrate the stability of the delay system.

연구 동기 및 목표

• 희귀한 온라인 측정으로 인한 지연 피드백으로 인한 시스템 불안정성 문제를 해결하기 위해.
• 단일 및 혼합 제품 반도체 제조 환경에 특화된 EWMA 기반 런-투-런 제어기(EWMA-I 및 EWMA-II)를 개발하기 위해.
• 고정 및 확률적 지연을 포함한 다양한 지연 시나리오 하에서 확률적 안정성에 대한 엄밀한 수학적 조건을 수립하기 위해.
• 단일 제품 공정에서의 안정성 분석 결과를 혼합 제품 공정으로 확장하여 실용적 적용성을 향상시키기 위해.
• 유도된 안정성 영역의 타당성과 효율성을 입증하는 수치 예제를 제공하기 위해.

제안 방법

• 단일 제품 및 혼합 제품 반도체 공정에 특화된 두 가지 EWMA 기반 런-투-런 제어기인 EWMA-I 및 EWMA-II를 제안한다.
• 단일 제품 공정에서 고정된 측정 지연이 있는 시스템에 대한 안정성 영역을 유도하기 위해 Routh-Hurwitz 기준을 적용한다.
• 고정 샘플링 및 확률적 측정 지연 조건 하에서의 안정성 영역을 확립하기 위해 르아프노프의 직접 방법을 활용한다.
• 제어기 구조와 분석 프레임워크를 조정하여 단일 제품 공정에서의 이론적 안정성 조건을 혼합 제품 공정으로 확장한다.
• 공정 동역학과 지연 영향을 수학적으로 모델링하여 확률적 안정성에 대한 충분하고도 필수 조건을 도출한다.
• 다양한 지연 분포 조건 하에서의 안정성 경계를 시각화한 수치 예제를 통해 이론적 결과의 타당성을 검증한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 고정된 측정 지연 조건 하에서 EWMA 런-투-런 제어를 적용한 단일 제품 반도체 제조 공정에서의 확률적 안정성에 대한 필수 및 충분 조건은 무엇인가?
• RQ2 고정 및 확률적 측정 지연은 반도체 공정에서 EWMA 기반 런-투-런 제어 시스템의 안정성에 어떻게 영향을 미치는가?
• RQ3 확률적 측정 지연이 있는 시스템의 안정성 영역는 무엇이며, 르아프노프의 직접 방법을 통해 어떻게 해석적으로 도출할 수 있는가?
• RQ4 단일 제품 공정에 대한 안정성 분석 결과는 어떻게 혼합 제품 반도체 제조 환경으로 확장될 수 있는가?
• RQ5 측정 지연이 있는 실제 반도체 제조 환경에서 유도된 안정성 영역의 실용적 함의는 무엇인가?

주요 결과

• Routh-Hurwitz 기준을 활용하여 고정된 측정 지연 조건 하에서 단일 제품 공정의 확률적 안정성에 대한 필수 및 충분 조건을 확립하였다.
• 르아프노프의 직접 방법을 통해 단일 제품 공정에서 고정 샘플링 및 확률적 측정 지연 조건 하에서의 안정성 영역을 성공적으로 유도하였다.
• 단일 제품 공정에서의 안정성 분석 프레임워크를 성공적으로 혼합 제품 공정으로 확장하였으며, 해석적 엄밀성을 유지하였다.
• 수치 예제를 통해 유도된 안정성 영역의 타당성을 확인하였으며, 제어기가 다양한 지연 조건 하에서도 시스템의 안정성을 유지할 수 있음을 입증하였다.
• 제안된 EWMA-I 및 EWMA-II 제어기는 지연된 측정 피드백 조건 하에서도 안정적인 공정 운영을 보장한다. 이는 반도체 제조에서 매우 중요하다.
• 측정 지연가 존재하는 상황에서 안정성을 보장하는 제어기 파rameter 선택을 위한 이론적 기반을 제공하였다.