[논문 리뷰] Stability Analysis of the Lugiato-Lefever Model for Kerr Optical Frequency Combs. Part II: Case of Anomalous Dispersion

Irina Balakireva, Aurélien Coillet외 2명|arXiv (Cornell University)|2013. 08. 12.

Advanced Fiber Laser Technologies인용 수 5

한 줄 요약

이 논문은 이소형 속도 분산( anomalous dispersion) 조건에서 고-Q 웨스턴드럴 모드 공진기 내에서 케러 주파수 커브의 Lugiato-Lefever 방정식에 대한 종합적인 안정성 분석을 제시한다. 초순수 및 부순진성 터닝 패턴, 밝은 공진기 솔리톤, 솔리톤 분자, 브리더, 그리고 혼돈으로 이르는 두 가지 별개의 경로를 포함한 여러 역학적 영역을 규명하며, 스펙트럼 커브의 복잡성과 기저의 분기 구조 및 매개변수 의존성 패턴 형성 간의 연관성을 규명한다.

ABSTRACT

We present a stability analysis of the Lugiato-Lefever model for Kerr optical frequency combs in whispering gallery mode resonators pumped in the anomalous dispersion regime. This article is the second part of a research work whose first part was devoted to the regime of normal dispersion, and was presented in ref. \cite{Part_I}. The case of anomalous dispersion is indeed the most interesting from the theoretical point of view, because of the considerable variety of dynamical behaviors that can be observed. From a technological point of view, it is also the most relevant because it corresponds to the regime where Kerr combs are predominantly generated, studied, and used for different applications. In this article, we analyze the connection between the spatial patterns and the bifurcation structure of the eigenvalues associated to the various equilibria of the system. The bifurcation map evidences a considerable richness from a dynamical standpoint. We study in detail the emergence of super- and sub-critical Turing patterns in the system. We determine the areas were bright isolated cavity solitons emerge, and we show that soliton molecules can emerge as well. Very complex temporal patterns can actually be observed in the system, where solitons (or soliton complexes) co-exist with or without mutual interactions. Our investigations also unveil the mechanism leading to the phenomenon of breathing solitons. Two routes to chaos in the system are identified, namely a route via the so called secondary combs, and another via soliton breathers. The Kerr combs corresponding to all these temporal patterns are analyzed in detail, and a discussion is led about the possibility to gain synthetic comprehension of the observed spectra out of the dynamical complexity of the system.

연구 동기 및 목표

• 실험에서 주로 관찰되는 이소형 군속도 분산(GVD) 조건에서 케러 주파수 커브 생성의 역학적 상태를 종합적이고 통합적인 시각으로 제공하는 것.
• 펌프 전력-디튜닝 매개변수 평면에서 정 steady-state 해의 분기 구조를 매핑하여 안정 및 불안정 영역을 규명하는 것.
• 지역화된 구조물, 예를 들어 공진기 솔리톤과 솔리톤 분자 등이 어떻게 나타나고, 그 성질은 무엇인지, 그리고 부순진성 터닝 패턴과의 연결 고리가 무엇인지 명확히 하는 것.
• 브리딩 솔리톤과 혼란스러운 역학으로 이르는 메커니즘을 조사하며, 보조 커브와 솔리톤 브리더의 역할을 분석하는 것.
• 복잡한 시공간 역학에서 유래한 케러 커브의 스펙트럼 특성을 분석하고, 기저의 역학적 분기 구조로부터의 종합적 이해 가능성 여부를 평가하는 것.

제안 방법

• 고-Q 웨스턴드럴 모드 공진기 내 케러 커브 생성을 위한 시공간 모델로 Lugiato-Lefever 방정식(LLE)을 사용한다.
• 평형점 주변에서 선형 안정성 분석을 수행하여 조건부 불안정성(MI)의 발생 시점과 기저가 되는 터닝 패턴의 성격(초순수 또는 부순진성)을 규명한다.
• MI 이득을 해석적으로 분석하여, 펌프 전력과 디튜닝에 따라 발생하는 롤의 수와 그 성장률을 예측한다.
• 수치 시뮬레이션을 활용하여, 특히 부순진성 터닝 패턴에서 기인하는 밝은 공진기 솔리톤과 솔리톤 분자의 형성 과정을 탐색한다.
• 시간적 역학 분석을 통해 브리딩 솔리톤을 조사하며, 브리딩 주기와 광자 수명 간의 관계를 규명한다.
• 혼돈으로 이르는 두 가지 별개의 경로를 식별한다: 하나는 불안정한 주요 커브에서 유래한 보조 커브 형성에 의한 경로이고, 다른 하나는 솔리톤 브리더 불안정성에 의한 경로이다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 이소형 속도 분산 영역에서 터닝 패턴의 초순수 및 부순진성 성격이 시간적 역학과 진동 임계값에 미치는 영향는 어떠한가?
• RQ2 밝은 공진기 솔리톤과 솔리톤 분자가 나타나는 조건는 무엇이며, 이들은 부순진성 터닝 패턴과 어떻게 위상적으로 연결되어 있는가?
• RQ3 브리딩 솔리톤 형성의 메커니즘은 무엇이며, 그 주기는 시스템 매개변수에 따라 어떻게 척도가 조정되는가?
• RQ4 Lugiato-Lefever 시스템에서 혼돈으로 이르는 두 가지 별개의 경로는 무엇이며, 이들이 스펙트럼 출력에서 어떻게 나타나는가?
• RQ5 케러 커브의 복잡한 스펙트럼 패턴은 기저의 역학적 분기 구조로부터 얼마나 종합적으로 이해할 수 있는가?

주요 결과

• 펌프 전력-디튜닝 평면에서의 분기 맵은 초순수 및 부순진성 터닝 패턴을 포함한 다양한 안정 및 불안정 상태를 포함하는 풍부한 역학적 지형을 드러낸다.
• MI 이득은 해석적으로 도출되었으며, 롤의 수와 성장률을 결정하며, 펌프 전력이 임계값을 초과할수록 롤의 수가 증가함을 보여준다.
• 부순진성 터닝 패턴이 불안정한 영역에서 밝은 공진기 솔리톤이 형성되며, 이는 솔리톤과 부순진성 롤 간의 위상 동치성과 관련이 있다.
• 결합된 다중 솔리톤 상태인 솔리톤 분자는 공진기 내에서 공존할 수 있으며, 매우 복잡한 다중 피크 케러 커브 스펙트럼을 생성한다.
• 브리딩 솔리톤은 광자 수명과 순서의 주기적 특성을 보이며, 시간적 역학과 공진기 감쇠율 간의 강한 결합을 나타낸다.
• 혼돈으로 이르는 두 가지 별개의 경로가 확인되었으며, 하나는 주요 커브에서 보조 커브로의 순차적 분기 경로이고, 다른 하나는 솔리톤이 불안정해져 난류적이고 유령파 유사 스펙트럼 폭발로 이어지는 경로이다.