[논문 리뷰] Stability and Bifurcation Analysis of a Fractional Order Delay Differential Equation Involving Cubic Nonlinearity

Sachin Bhalekar, Deepa Gupta|arXiv (Cornell University)|2022. 04. 26.

Fractional Differential Equations Solutions참고 문헌 56인용 수 8

한 줄 요약

이 논문은 세차 비선형성을 가진 분수차수 지연 미분방정식의 안정성과 혼돈을 선형화 및 특성방정식 분석을 통해 지연에 의존하는 안정성 조건과 지연에 무관한 안정성 조건을 유도함으로써 분석한다. 주요 기여는 임의의 ϵ > 0 및 p > 0에 대해 qδ-평면에서 안정 영역을 완전히 그림으로 제시한 것으로, 수치 시뮬레이션과 분기 분석을 통해 큰 지연 값에서 혼돈 행동이 나타남을 확인하였다.

ABSTRACT

Fractional derivative and delay are important tools in modeling memory properties in the natural system. This work deals with the stability analysis of a fractional order delay differential equation \begin{equation*} D^\alpha x(t)=\delta x(t- au)-\epsilon x(t- au)^3-px(t)^2+q x(t). \end{equation*} We provide linearization of this system in a neighbourhood of equilibrium points and propose linearized stability conditions. To discuss the stability of equilibrium points, we propose various conditions on the parameters $\delta$, $\epsilon$, $p$, $q$ and $ au$. Even though there are five parameters involved in the system, we are able to provide the stable region sketch in the $q\delta-$plane for any positive $\epsilon$ and $p$. This provides the complete analysis of stability of the system. Further, we investigate chaos in the proposed model. This system exhibits chaos for a wide range of delay parameter.

연구 동기 및 목표

• 분수차수 지연 미분방정식의 평형점 안정성 분석
• 시스템의 평형점에 대한 지연에 의존하는 안정성 조건과 지연에 무관한 안정성 조건을 명시적으로 도출하기
• 임의의 양수 ϵ 및 p에 대해 qδ-평면에서의 완전한 안정 영역을 매핑하여 전체 매개변수 기반 안정성 분석 가능하게 하기
• 지연 매개변수 τ에 따라 혼돈이 어떻게 발생하는지 조사하기
• 이론적 결과를 수치 시뮬레이션, 분기도 및 르샤르 지수 계산을 통해 검증하기

제안 방법

• 일阶 테일러 근사법을 이용한 평형점 주변에서의 시스템 선형화를 통해 선형화된 분수차수 지연 방정식 유도하기
• 특성방정식 분석을 통한 분수차수 지연 시스템에 대한 Matignon의 안정성 기준 적용하기
• 허프 분기 탐지에 사용되는 삼각함수 및 역余弦 표현을 포함한 α, q, δ를 이용한 임계 지연 값 τ* 유도하기
• x*₂에 대해 안정 영역의 경계를 정의하기 위해 매개변수 곡선 g1(p, q, ϵ) 및 g2(p, q, ϵ) 사용하기
• 시간 시리즈 및 위상도를 통한 수치 시뮬레이션을 통해 한계 순환 및 혼돈 구조 시각화하기
• Kodba 등이 제안한 알고리즘을 사용해 최대 르샤르 지수 계산하여 혼돈 역학 확인하기

실험 결과

연구 질문

• RQ1 지연 τ가 평형점 x*₁ = 0의 안정성에 어떻게 영향을 미치며, 어떤 조건에서 안정 또는 불안정해지는가?
• RQ2 δ, q, ϵ, p 매개변수들이 비영 평형점 x*₂ 및 x*₃의 안정성에 어떻게 영향을 미치는가?
• RQ3 qδ-평면에서 지연에 의존하는 안정 영역과 지연에 무관한 안정 영역을 정의하는 정확한 매개변수 경계는 무엇인가?
• RQ4 지연 매개변수 τ의 어떤 값에서 시스템이 혼돈 진동을 나타내는가?
• RQ5 분기도 및 르샤르 지수를 통해 혼돈의 존재를 어떻게 확인할 수 있는가?

주요 결과

• 정리 1의 케이스 2에 따르면, δ + q > 0 이면 모든 τ ≥ 0 에서 평형점 x*₁ = 0 이 불안정하다.
• 정리 3에 따르면, δ + q < 0 이고 δ ≥ q 이면 모든 τ ≥ 0 에서 x*₁ 가 수렴 안정성( asymptotically stable )을 가진다.
• δ + q < 0 이고 δ < q 이면 x*₁ 는 지연에 의존하는 안정성을 보이며, δ = -3, q = -2, ϵ = 1, p = 1 일 때 임계 지연 τ* ≈ 1.0690 를 가진다.
• 정리 5에 따르면, x*₂ 에 대해 ϵ > 0, p > 0, 0 < −q < δ < −2q 이면 모든 τ ≥ 0 에서 시스템이 수렴 안정성을 가진다.
• x*₂ 의 qδ-평면에서의 안정 영역은 곡선 δ = g1(p, q, ϵ), δ = g2(p, q, ϵ), 및 δ = −q 로 둘러싸여 있으며, g2 는 δ₁ = −p²/(32ϵ) 에 국소 최솟값을 가진다.
• τ > 2.2 에서 혼돈이 확인되었으며, 최대 르샤르 지수는 τ = 2.3 에서 0.546279, τ = 2.5 에서 1.083852 로 양의 혼돈 지표를 나타낸다.