[논문 리뷰] Stability and Bifurcation Analysis of Coupled Fitzhugh-Nagumo Oscillators

W. G. Hanan, Dhagash Mehta외 2명|arXiv (Cornell University)|2010. 01. 29.

Nonlinear Dynamics and Pattern Formation참고 문헌 30인용 수 5

한 줄 요약

이 논문은 계산 기반 실대수기하학—특히 판별다양체(Discriminant Variety) 및 실린드릭 대각분할(Cylindrical Algebraic Decomposition) 방법—을 적용하여 세 개의 결합된 Fitzhugh-Nagumo 진동자 시스템의 안정성과 분기 구조를 분석한다. 결합 강도 $g$에 대해 안정된 상태의 수가 일정한 매개변수 영역을 규명하며, $a=0$, $b=2$일 때 최대 27개의 정상 상태와 14개의 안정 상태를 포함하는 복잡한 전이를 드러낸다. 정확한 임계점인 $\mu_i$가 분기의 임계점을 정의한다.

ABSTRACT

Neurons are the central biological objects in understanding how the brain works. The famous Hodgkin-Huxley model, which describes how action potentials of a neuron are initiated and propagated, consists of four coupled nonlinear differential equations. Because these equations are difficult to deal with, there also exist several simplified models, of which many exhibit polynomial-like non-linearity. Examples of such models are the Fitzhugh-Nagumo (FHN) model, the Hindmarsh-Rose (HR) model, the Morris-Lecar (ML) model and the Izhikevich model. In this work, we first prescribe the biologically relevant parameter ranges for the FHN model and subsequently study the dynamical behaviour of coupled neurons on small networks of two or three nodes. To do this, we use a computational real algebraic geometry method called the Discriminant Variety (DV) method to perform the stability and bifurcation analysis of these small networks. A time series analysis of the FHN model can be found elsewhere in related work[15].

연구 동기 및 목표

• 작은 수의 결합된 Fitzhugh-Nagumo 뉴런 네트워크의 안정성과 분기 구조를 분석하는 것—특히 $n=3$의 경우에 중점을 두고.
• Fitzhugh-Nagumo 모델의 생물학적으로 관련성이 있는 매개변수 범위를 규명하는 것—특히 $a \in [-2,2]$, $b \in (0,\infty)$, $g \in [-1,1]$, $\epsilon \leq 0.1$.
• 계산 기반 대수기하학 기법을 적용하여 매개변수 공간 전역에서 정상 상태의 수와 안정성을 결정하는 것.
• 이전의 $n=1$ 및 $n=2$ 사례를 확장하여 고급 대수기법을 사용해 $n=3$ 시스템을 정확히 해결하는 것.
• $n=3$의 경우에 대해 정상 상태 수와 안정 상태 수가 일정한 영역으로 매개변수 공간을 완전히 분할하는 것.

제안 방법

• 매개변수 공간을 정상 상태 수가 일정한 영역으로 암묵적으로 분할하기 위해 판별다양체(DV) 방법을 사용한다.
• 매개변수 공간 분할의 각 연결된 셀을 명시적으로 기술하기 위해 실린드릭 대각분할(CAD)을 적용한다.
• 각 정상 상태의 안정성을 판단하기 위해 Routh-Hurwitz 기준(그리고 그의 Liénard-Chipart 변형)을 적용한다.
• 시간 도함수를 0으로 설정하여 유도된 다항방정식계를 해결하기 위해 Maple 13의 Groebner 및 RootFinding[Parametric] 패키지를 사용하여 계산을 수행한다.
• 차원을 줄이기 위해 매개변수 $a=0$, $b=2$를 고정하고, 결합 강도 $g$에 대한 의존성만 분석한다.
• 정상 상태 수와 안정 상태 수가 변화하는 $g$의 구간 경계를 정의하기 위해 수치적 임계값 $\mu_i$를 사용한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 세 개의 결합된 Fitzhugh-Nagumo 진동자 네트워크에서 정상 상태의 수는 결합 강도 $g$에 따라 어떻게 변화하는가?
• RQ2 정상 상태 수의 변화를 유도하는 분기 발생 시의 $g$의 임계값은 무엇인가?
• RQ3 다양한 $g$의 구간에서 정상 상태 중 몇 개가 안정적인가? 이 수는 매개변수 변화에 따라 어떻게 변화하는가?
• RQ4 대수기하학 기법을 사용하여 $n=3$의 전체 매개변수 공간을 정상 상태 수와 안정 상태 수가 일정한 영역으로 분할할 수 있는가?
• RQ5 생물학적으로 관련성이 있는 매개변수 범위에서, 세 노드 네트워크에서 도달 가능한 정상 상태와 안정 상태의 최대 수는 얼마인가?

주요 결과

• 모든 $n=3$의 경우, 정상 상태 수는 결합 강도 $g$에 따라 3에서 27까지 변동하며, 총 12개의 구분된 구간이 확인된다.
• 정상 상태 수가 첫 12개의 구간 동안은 항상 2로 유지되며, $\mu_{15}$를 초과해 $g$가 증가함에 따라 8, 14, 마지막으로 6으로 증가한다.
• 정상 상태의 최대 수는 27로, $g \in ]\mu_{15}, \mu_{16}[$ 인 영역에서 발생하며, 이는 안정 상태 수가 최대인 14개와 일치한다.
• $g$는 $\mu_{18} \approx 0.1646$에서 임계 전이를 겪으며, 이는 정상 상태 수가 15에서 27로 급격히 증가함을 나타내며, 중요한 분기임을 시사한다.
• 정상 상태 수가 14개로 최고에 도달하는 것은 $g \in ]\mu_{15}, \mu_{16}[$ 영역이며, 이는 관측된 최대 안정도 수이다.
• 마지막 영역인 $g \in ]\mu_{24}, \infty[$ 는 27개의 정상 상태와 6개의 안정 상태를 포함하며, 높은 상태 수에도 불구하고 안정도가 낮아지는 것으로 나타나, 복귀 현상이 있음을 시사한다.