[논문 리뷰] Stability and error estimates for the variable step-size BDF2 method for linear and semilinear parabolic equations

Wansheng Wang, Mengli Mao외 1명|arXiv (Cornell University)|2020. 03. 07.

Numerical methods for differential equations참고 문헌 20인용 수 4

한 줄 요약

이 논문은 선형 및 양선형 포아송 방정식에 적용된 가변 단계 크기 BDF2 방법에 대해, 제로 안정성과 $ l^∞(0,T;H) $-안정성 간의 처음으로 동치성을 확립한다. 이는 $ l^∞(0,T;H) $-안정성을 보장하는 단계 크기 비율의 상한이 제로 안정성 임계값 $ R_0 = \sqrt{2}+1 \approx 2.414 $ 와 정확히 일치함을 증명하며, 다양한 노름에서 최적의 오차 추정치를 유도하여, 초기 조건이 트라프레지oidal 법칙을 통해 계산될 경우에도 가변 시간 단계에서 제2차 수렴성을 확인한다.

ABSTRACT

In this paper stability and error estimates for time discretizations of linear and semilinear parabolic equations by the two-step backward differentiation formula (BDF2) method with variable step-sizes are derived. An affirmative answer is provided to the question: whether the upper bound of step-size ratios for the $l^\infty(0,T;H)$-stability of the BDF2 method for linear and semilinear parabolic equations is identical with the upper bound for the zero-stability. The $l^\infty(0,T;V)$-stability of the variable step-size BDF2 method is also established under more relaxed condition on the ratios of consecutive step-sizes. Based on these stability results, error estimates in several different norms are derived. To utilize the BDF method the trapezoidal method and the backward Euler scheme are employed to compute the starting value. For the latter choice, order reduction phenomenon of the constant step-size BDF2 method is observed theoretically and numerically in several norms. Numerical results also illustrate the effectiveness of the proposed method for linear and semilinear parabolic equations.

연구 동기 및 목표

• 선형 및 양선형 포아송 방정식에 적용된 가변 단계 크기 BDF2 방법에 대해 $ l^\infty(0,T;H) $-안정성을 확립한다.
• 단계 크기 비율의 상한이 $ l^\infty(0,T;H) $-안정성을 보장할 때, 제로 안정성 임계값 $ R_0 = \sqrt{2}+1 \approx 2.414 $ 와 일치하는가를 확인한다.
• 단계 크기 비율 조건을 완화한 조건 하에서, $ l^\infty(0,T;H) $, $ l^\infty(0,T;V) $, $ l^2(0,T;H) $, $ l^2(0,T;V) $ 노름에서의 전역 오차 추정치를 유도한다.
• 초기 조건 계산 방법(트라프레지oidal 대비 후진 오일러)이 수렴 차수에 미치는 영향을 분석하며, 특히 일정 단계 크기 BDF2에서 관찰되는 차수 감소 현상에 주목한다.
• 이론적 결과를 수치적으로 검증하고, 정밀도와 효율성 면에서 일정 단계 크기 BDF2에 비해 가변 단계 크기 BDF2가 뛰어나다는 것을 보여준다.

제안 방법

• 일반적인 시간 메esh를 사용하여 가변 단계 크기 $ k_n = t^n - t^{n-1} $ 를 가진 시간 분할을 적용하여 선형 및 양선형 포아송 방정식에 대해 가변 단계 크기 BDF2 방법을 시간 이산화에 적용한다.
• 수정된 시간 도함수 연산자 $ \bar{\partial}^2_B U^n $ 를 사용한 이중 단계 후진 미분 공식을 적용하며, 이는 $ s_n = k_n / (k_n + k_{n-1}) $ 를 통해 정의되어 제2차 정확도를 보장한다.
• 해리만 공간 설정에서 에너지 추정치를 가능하게 하기 위해 일반화된 시험 함수 $ U^n_\delta = U^n + \delta k_n \bar{\partial}^1_B U^n $ 를 사용하여 안정성 분석을 수행한다.
• 스펙트럼 및 에너지 기법을 활용하여 $ r_n = k_n/k_{n-1} < \sqrt{2}+1 $ 조건 하에서 $ l^\infty(0,T;H) $-안정성을 증명하며, 이는 제로 안정성 한계와 정확히 일치한다.
• 일致성 분석과 안정성 결과를 바탕으로 오차 추정치를 도출하여, $ l^\infty(0,T;H) $, $ l^\infty(0,T;V) $, $ l^2(0,T;H) $, $ l^2(0,T;V) $ 노름에서의 전역 오차 범위를 확보한다.
• 초기 조건 $ U^1 $ 은 트라프레지oidal 법칙 또는 후진 오일러 스킴을 통해 계산되며, 후자는 특정 노름에서 차수 감소 현상을 유도함을 입증한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 가변 단계 크기 BDF2 방법에서 $ l^\infty(0,T;H) $-안정성을 보장하는 단계 크기 비율의 상한이 제로 안정성 임계값 $ R_0 = \sqrt{2}+1 $ 과 동일한가?
• RQ2 이전 연구들에 비해 단계 크기 비율 조건을 완화한 조건 하에서, 가변 단계 크기 BDF2 방법의 $ l^\infty(0,T;V) $-안정성을 확립할 수 있는가?
• RQ3 초기 조건 계산 방법의 선택(트라프레지oidal 대비 후진 오일러)이 BDF2 방법의 수렴 차수에 영향을 미치는가, 특히 $ l^\infty(0,T;V) $ 및 $ l^2(0,T;H,H) $ 노름에서의 영향은?
• RQ4 가변 시간 메쉬에서 선형 및 양선형 포아송 방정식에 대해 가변 단계 크기 BDF2 방법이 제2차 수렴성을 유지할 수 있는가?
• RQ5 일정 단계 크기 BDF2 방법에서 관찰되는 차수 감소 현상이, 후진 오일러를 사용해 $ U^1 $ 을 계산할 경우 가변 단계 크기 변형에서도 나타나는가?

주요 결과

• 가변 단계 크기 BDF2 방법에서 $ l^\infty(0,T;H) $-안정성을 보장하는 단계 크기 비율의 상한이 제로 안정성 임계값 $ R_0 = \sqrt{2}+1 \approx 2.414 $ 와 정확히 일치함을 증명하여 핵심 이론적 문제를 해결하였다.
• 단계 크기 비율 조건을 완화한 조건 $ r_n < \sqrt{2}+1 $ 하에서 $ l^\infty(0,T;V) $-안정성이 확립되었으며, 이는 이전의 한계들인 $ 1.366 $ 또는 $ 1.868 $ 보다 향상된 결과이다.
• 선형 및 양선형 포아송 방정식에 대해 가변 시간 메쉬에서 $ l^\infty(0,T;H) $, $ l^\infty(0,T;V) $, $ l^2(0,T;H) $, $ l^2(0,T;V) $ 노름에서 제2차 수렴성이 달성됨을 입증하였다.
• 수치 실험을 통해 $ \varpi = 3 $ 인 가변 단계 크기 BDF2 방법이 제2차 수렴성을 보임을 확인하였으며, 모든 테스트된 노름에서 일정 단계 크기 BDF2에 비해 정밀도가 뛰어나다는 것을 입증하였다.
• 후진 오일러를 사용해 $ U^1 $ 을 계산할 경우, 일정 단계 크기 BDF2는 $ l^\infty(0,T;V) $ 및 $ l^2(0,T;H,H) $ 노름에서 차수 감소 현상을 보이지만, 이는 가변 단계 크기 케이스에서 $ k_1 $ 을 줄임으로써 완화될 수 있다.
• 가변 단계 크기 BDF2 방법은 제2차 정확도를 유지하며, 특히 해가 급격히 변하는 영역에서 일정 단계 크기 변형에 비해 뛰어난 성능을 보였다.