[논문 리뷰] Stability and Optimal Control of Switching PDE-Dynamical Systems

Falk M. Hante|arXiv (Cornell University)|2018. 02. 22.

Stability and Controllability of Differential Equations참고 문헌 5인용 수 3

한 줄 요약

이 논문은 바나흐 공간과 힐버트 공간에서의 추상적 진화 방정식을 사용하여 편미분방정식(PDE)에 의해 지배되는 스위칭 시스템의 안정성과 최적 제어에 대한 이론적 프레임워크를 개발한다. 공통 리아푸노프 함수를 통한 균일한 지수적 안정성 조건을 수립하고, 간헐적으로 감쇠되는 시스템에 대한 일반화된 관측 가능성 부등식을 도출하며, 수렴성과 최적성 갭이 입증된 리 릴랙세이션 기반 방법을 통해 최적 스위칭 제어를 제시한다. 이는 열 방정식, 슈뢰딩거 방정식, 파동 방정식, 운반 방정식을 포함한 PDE에 대해 수치적으로 검증되었다.

ABSTRACT

Selected results for the stability and optimal control of abstract switched systems in Banach and Hilbert space are reviewed. The dynamics are typically given in a piecewise sense by a family of nonlinearly perturbed evolutions of strongly continuous semigroups. Stability refers to characterizations of asymptotic decay of solutions that holds uniformly for certain classes of switching signals for time going to infinity. Optimal control refers to the minimization of costs associated to solutions by appropriately selecting switching signals. Selected numerical results verify and visualize some of the available theory.

연구 동기 및 목표

• 임의의 스위칭 신호 하에서 스위칭 PDE-역학계의 균일한 지수적 안정성을 보장하는 충분 및 필수 조건을 확립하기 위해.
• 간헐적으로 감쇠되는 소산성 시스템에서 점근적 안정성을 위한 일반화된 관측 가능성 부등식 이론을 개발하기 위해.
• 최적 스위칭 제어 문제에서 최적 값 함수의 정규성과 리 릴랙세이션 갭을 분석하기 위해.
• 최적 제어에서 스위칭 시점의 변화와 모드 삽입에 대한 연역 미분법을 유도하기 위해.
• 열 방정식, 슈뢰딩거 방정식, 파동 방정식, 운반 방정식을 포함한 PDE에 대한 수치 사례 연구를 통해 이론적 결과를 검증하기 위해.

제안 방법

• 스위칭 PDE-역학계를 조각별로 정의된 준군 생성자와 리프시츠 연속 비선형 편항을 갖는 추상적 진화 방정식으로 수식화한다.
• 강한 연속 준군 이론과 온화한 해의 정의를 적용하여 스위칭 간격 동안의 해를 정의한다.
• 공통 리아푸노프 함수를 사용하여 임의의 스위칭 신호에 걸쳐 전역적인 균일한 지수적 안정성을 특성화한다.
• 간헐적으로 감쇠되는 시스템의 점근적 안정성을 보장하기 위해 일반화된 관측 가능성 부등식을 유도한다.
• 혼합정수비선형계획문제(MINLP) 형태의 최적 제어 문제를 해결하기 위해 외부 볼록화 및 리 릴랙세이션 기법을 활용한다.
• 유한체적 및 은밀한 오일러 스킴을 사용하여 공간 및 시간 이산화를 수행하고, GAMS 솔버(BONMIN, BARON)를 통해 최적 스위칭 시퀀스를 계산한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 어떤 조건이 임의의 스위칭 신호 하에서 스위칭 PDE 시스템의 균일한 지수적 안정성을 보장하는가?
• RQ2 일반화된 관측 가능성 부등식은 간헐적으로 감쇠되는 시스템에서 점근적 안정성을 어떻게 확립하는가?
• RQ3 스위칭 비용을 수반하는 최적 스위칭 제어 문제에서 리 릴랙세이션 갭의 크기는 얼마인가?
• RQ4 최적 값 함수의 정규성은 스위칭 시점의 변화와 모드 삽입에 어떻게 의존하는가?
• RQ5 리 릴랙세이션 기법은 PDE 시스템의 최적 스위칭 제어 문제에서 정확한 해 또는 ε-최적 해를 도출할 수 있는가?

주요 결과

• 1D 운반 방정식 테스트 케이스에서 리 릴랙세이션 기반 방법은 Δt = 0.25, Nx = 1000일 때 상대 정수 최적성 갭이 0%에 도달하여 이론적 수렴 속도를 확인하였다.
• MINLP 솔버 GAMS/BONMIN은 집중 제어를 갖춘 1D 열 방정식에 대해 최적 스위칭 신호 λ(t) = 1 − χ(9/4,T](t)를 발견하였으며, Nx 증가에 따라 계산 시간이 지수적으로 증가하였다.
• 외부 볼록화/리 릴랙세이션 방법은 Nx에 대해 선형적으로 증가하는 CPU 시간을 기록하였고, Nx = 1000까지 실행 가능하였으며, MINLP 솔버는 Nx > 70를 초과하면 실패하였다.
• Nx = 1000일 때, Δt ≤ 0.25인 범위에서 리 릴랙세이션 제어 해가 MINLP 해와 일치하여 리 릴랙세이션 접근법의 타당성을 검증하였다.
• 최적 비용 J*는 Nx = 10일 때 0.280에서 Nx = 1000일 때 0.0742로 감소하여 수치적 스킴의 수렴성을 시사하였다.
• Δt = 0.25일 때 상대 최적성 갭 γ(α³) = 0이었고, 이는 정리 7에서 이론적으로 예측한 바와 같이 Δt → 0일 때 갭이 소멸한다는 것을 확인하였다.