[논문 리뷰] Stability and turbulent transport in rotating shear flows: prescription from analysis of cylindrical and plane Couette flows data

B. Dubrulle, Olivier Dauchot외 4명|arXiv (Cornell University)|2011. 06. 07.

Geomagnetism and Paleomagnetism Studies참고 문헌 59인용 수 66

한 줄 요약

이 논문은 실린더형 및 평판 코안테 흐름의 실험 데이터로부터 유도된, 회전하는 비틀림 흐름에서 난류 점성도에 대한 일반적인 처방을 제안한다. 동역학적 제어 변수를 도입하고 토크를 일반적이고 측정 가능한 성분으로 분해함으로써, 비틀림 수치, 비틀림, 레이놀즈 수에 의존하는 점성도 공식을 도출하였으며, 기존 데이터와의 정량적 일치와 천체물리학적 디스크 모델링에 대한 함의를 포함한다.

ABSTRACT

This paper provides a prescription for the turbulent viscosity in rotating shear flows for use e.g. in geophysical and astrophysical contexts. This prescription is the result of the detailed analysis of the experimental data obtained in several studies of the transition to turbulence and turbulent transport in Taylor-Couette flow. We first introduce a new set of control parameters, based on dynamical rather than geometrical considerations, so that the analysis applies more naturally to rotating shear flows in general and not only to Taylor-Couette flow. We then investigate the transition thresholds in the supercritical and the subcritical regime in order to extract their general dependencies on the control parameters. The inspection of the mean profiles provides us with some general hints on the mean to laminar shear ratio. Then the examination of the torque data allows us to propose a decomposition of the torque dependence on the control parameters in two terms, one completely given by measurements in the case where the outer cylinder is at rest, the other one being a universal function provided here from experimental fits. As a result, we obtain a general expression for the turbulent viscosity and compare it to existing prescription in the literature. Finally, throughout all the paper we discuss the influence of additional effects such as stratification or magnetic fields.

연구 동기 및 목표

• 지구물리학적 및 천체물리학적 맥락에 적용 가능한, 실용적이고 일반화 가능한, 회전하는 비틀림 흐름에서 난류 점성도의 처방을 개발하는 것.
• 기하학적 비율에 의존하는 제어 변수의 한계를 극복하기 위해 유체역학적 물리량에서 유도된 동역학적 변수를 도입하는 것.
• 타일러-코안테 흐름에서 전이 임계값과 난류 운반에 관한 다수의 실험 결과를 하나의 예측 가능한 프레임워크로 통합하는 것.
• 경계 조건을 고려하면서도, 회전, 비틀림, 레이놀즈 수가 난류 운반에 미치는 영향을 분리하고 정량화하는 것.
• 레이놀즈 유사성 원리를 활용해 천체물리학적 디스크에서 난류 운반을 모델링할 수 있는 기초를 마련하는 것.

제안 방법

• 기하학적 비율이 아닌 동역학적 양(예: 회전 수치 $R_{\rm \textbackslash Omega}$, 곡률 $R_{\rm C}$)에 기반한 새로운 제어 변수 세트를 도입한다.
• 초임계 및 임계 이하의 영역에서의 타일러-코안테 흐름 실험 데이터를 분석하여 전이 임계값에 대한 스케일링 법칙을 추출한다.
• 측정된 토크를 두 성분으로 분해한다: 외부 실린더가 정지해 있는 실험에서의 성분 $G_i(Re,\eta)$와, 피팅을 통해 유도된 일반 함수 $h(R_{\rm \textbackslash Omega},\eta)$.
• 난류 점성도의 일반식을 유도한다: $\nu_t = \frac{1}{2\pi} R_{\cal C}^4 \frac{G_i(Re,\eta)}{Re^2} h(R_{\rm \textbackslash Omega},\eta) \frac{S_{\text{lam}}}{\bar{S}} \tilde{S} \tilde{r}^2$.
• 평균 속도 프로파일과 토크 데이터를 이용해 라미너-평균 비틀림 비율과 반경 방향 의존성을 추론한다.
• 실험 데이터를 바탕으로 처방을 검증하며, 레이놀즈 수 의존성과 경계 조건 영향(매끄럽고 거친 경우)을 포함한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 다양한 실험 조건에서 회전하는 비틀림 흐름의 난류 점성도는 어떻게 일반화된 처방을 통해 기술할 수 있는가?
• RQ2 기하학적 비율을 넘어서 안정성과 운반에 대한 회전하는 비틀림 흐름의 특성을 기술하는 데 가장 적합한 동역학적 제어 변수는 무엇인가?
• RQ3 타일러-코안테 흐름에서 난류 점성도는 레이놀즈 수, 회전 수치, 경계 조건에 따라 어떻게 달라지는가?
• RQ4 토크 데이터는 일반 함수와 측정 가능한 성분으로 분해되어 일반화가 가능할 수 있는가?
• RQ5 곡률, 정렬화, 자석장은 난류 운반 처방을 어떻게 수정하는가?

주요 결과

• 난류 점성도 공식 $\nu_t = \frac{1}{2\pi} R_{\cal C}^4 \frac{G_i(Re,\eta)}{Re^2} h(R_{\rm \textbackslash Omega},\eta) \frac{S_{\text{lam}}}{\bar{S}} \tilde{S} \tilde{r}^2$ 은 회전하는 비틀림 흐름에 대한 통합된 처방을 제공한다.
• 경계가 거친 경우 $\eta = 0.724$ 에서 난류 점성도는 거의 레이놀즈 수에 의존하지 않으며, $R_{\Omega} < -0.5$ 에서는 $\nu_t \approx 8 \times 10^{-3} R_{\Omega}^{-2} \tilde{S} \tilde{r}^2$ 로 근사된다.
• 경계가 매끄러운 경우 $\eta = 0.724$ 에서 점성도는 레이놀즈 수가 증가함에 따라 감소하며, 로그 보정과 일치한다.
• 유도된 공식은 $R_{\Omega}^{-2}$ 스케일링을 재현하며, 실험 데이터와 일치하며, Richard와 Zahn의 추정치 $1.5 \pm 0.5 \times 10^{-5}$ 과 가까운 값 $\beta = 8 \times 10^{-6}$ 도 포함한다.
• 함수 $h(R_{\Omega},\eta)$ 는 일반적이며 데이터 피팅을 통해 유도되어 새로운 흐름 조건으로의 외삽이 가능하다.
• 거친 벽 조건에서는 레이놀즈 수 의존성이 약하며, 콜모고로프 기반 모델과 대비되며, 천체물리학적 디스크 모델링에서 레이놀즈 유사성의 사용을 뒷받침한다.