[논문 리뷰] Stability by Lyapunov functions of Caputo fractional differential equations with non-instantaneous impulses

Ravi P. Agarwal, Snezhana Hristova외 1명|arXiv (Cornell University)|2015. 12. 17.

Fractional Differential Equations Solutions참고 문헌 8인용 수 8

한 줄 요약

이 논문은 비순간적 충격이 작용하는 비선형 캅투로 분수차 미분방정식에서 리아푸노프 함수에 대한 새로운 정의인 캅투로 분수차 다이니 미분을 제안한다. 리아푸노프 함수가 연속미분 가능함을 요구하는 전통적 조건을 완화하여 연속성만 요구함으로써, 영해의 균일 안정성 및 점점이르는 균일 안정성에 대한 충분조건을 수립하였으며, 이는 이론적 분석과 구체적인 예시를 통해 검증되었다.

ABSTRACT

The stability of the zero solution of a nonlinear Caputo fractional differential equation with noninstantaneous impulses is studied using Lyapunov like functions. The novelty of this paper is based on the new definition of the derivative of a Lyapunov like function along the given noninstantaneous impulsive fractional differential equations. On one side this definition is a natural generalization of Caputo fractional Dini derivative of a function and on the other side it allows us the assumption for Lyapunov functions to be weakened to continuity. By appropriate examples it is shown the natural relationship between the defined derivative of Lyapunov functions and Caputo derivative. Several sufficient conditions for uniform stability and asymptotic uniform stability of the zero solution, based on the new definition of the derivative of Lyapunov functions are established. Some examples are given to illustrate the results.

연구 동기 및 목표

• 비순간적 충격이 작용하는 비선형 캅투로 분수차 미분방정식에서 영해의 안정성을 분석하는 것.
• 충격이 순간적이지 않고 유한한 간격 동안 지속될 경우 리아푸노프 방법을 적용하는 데 발생하는 과제를 다루는 것.
• 리아푸노프 함수를 위한 분수차 다이니 미분의 개념을 비순간적 충격의 구조에 맞게 일반화하는 것.
• 리아푸노프 함수의 전통적 매끄러움 조건을 연속성으로 완화함으로써 적용 가능성을 높이는 것.
• 새로운 미분 정의를 사용하여 영해의 균일 안정성 및 점점이르는 균일 안정성에 대한 충분조건을 수립하는 것.

제안 방법

• 비순간적 충격이 작용하는 분수차 미분방정식에 따라 리아푸노프 함수에 대한 새로운 일반화된 캅투로 분수차 다이니 미분을 제안한다.
• 두 가지 유형의 분수차 미분을 정의한다: 분수차 다이니 미분과 캅투로 분수차 다이니 미분으로, 충격 시스템에 특화되어 있다.
• 새로운 미분 정의를 조각별 연속 리아푸노프 함수에 적용하여, 미분 가능성 대신 연속성만 요구한다.
• 일반화된 미분을 사용하여 영해의 균일 안정성 및 점점이르는 균일 안정성에 대한 충분조건을 유도한다.
• 이론적 결과의 타당성을 검증하기 위해 이차 및 비이차 리아푸노프 함수를 사용한 예시를 구성한다.
• 일반화된 미분의 부호와 충격 간격 내 함수의 행동을 점검하여 안정성 조건을 검증한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 캡투로 분수차 미분방정식에서 비순간적 충격이 존재할 경우 리아푸노프 함수는 어떻게 안정성 분석에 적합하게 조정될 수 있는가?
• RQ2 비순간적 충격의 구조를 수용할 수 있는 적절한 캅투로 분수차 다이니 미분의 일반화는 무엇인가?
• RQ3 리아푸노프 함수의 매끄러움 조건을 연속미분 가능에서 연속성으로 완화할 수 있는가? 이 경우 안정성 분석의 타당성은 유지되는가?
• RQ4 비순간적 충격이 존재하는 분수차 시스템에서 영해가 언제 균일하거나 점점이르는 균일 안정성을 유지하는가?
• RQ5 새로운 미분 정의는 표준 캅투로 미분과 고전적 리아푸노프 이론과 어떻게 관련이 있는가?

주요 결과

• 비순간적 충격이 존재하는 분수차 시스템에서 리아푸노프 함수에 대한 새로운 일반화된 캅투로 분수차 다이니 미분이 정의되었으며, 이는 더 약한 매끄러움 조건 하에서도 안정성 분석이 가능하도록 하였다.
• 제안된 미분은 캅투로 분수차 다이니 미분의 자연스러운 일반화이며, 리아푸노프 함수가 반드시 미분 가능할 필요 없이 연속성만 확보되어도 된다.
• 새로운 미분 정의를 사용하여 영해의 균일 안정성 및 점점이르는 균일 안정성에 대한 충분조건가 성립함을 수립하였다.
• 이론적 결과는 예시를 통해 검증되었다: 예제 2와 예제 7은 유계 충격 영향을 갖는 이차 리아푸노프 함수를 사용하여 균일 안정성을 보여주었다.
• 예제 8은 표준 리아푸노프 방법이 시스템의 동역학에서 부호 변화로 인해 실패할 수 있는 경우에, 일반화된 캅투로 분수차 다이니 미분의 효과를 입증하였다.
• 예제 8의 시스템에서 영해가 새로운 미분 정의를 통해 안정성이 입증되었으며, 이는 표준 분수차 다이니 미분이 진동하는 행동으로 인해 결론을 도출할 수 없는 경우에도 성립한다.