[논문 리뷰] Stability, convergence to equilibrium and simulation of non-linear Hawkes Processes with memory kernels given by the sum of Erlang kernels

Aline Duarte, Eva Löcherbach외 1명|arXiv (Cornell University)|2016. 10. 11.

Point processes and geometric inequalities인용 수 4

한 줄 요약

이 논문은 비선형 허크스 과정의 메모리 커널이 에르랑 커널의 합으로 구성된 경우, 이를 마코프 연쇄로 모델링하고 조각적 결정론적 마코프 과정(PDMP)으로 간주함으로써 안정성과 평형 상태로의 지수 수렴을 확립한다. 이는 적분 by parts와 바르데모네 행렬의 가역성을 통한 정규성 분석을 통해 양의 허리스 재귀성을 증명함으로써 달성되며, 이러한 과정의 효율적 시뮬레이션을 위한 수정된 희박화 알고리즘도 제안한다.

ABSTRACT

Non-linear Hawkes processes with memory kernels given by the sum of Erlang kernels are considered. It is shown that their stability properties can be studied in terms of an associated class of piecewise deterministic Markov processes, called Markovian cascades of successive memory terms. Explicit conditions implying the positive Harris recurrence of these processes are presented. The proof is based on integration by parts with respect to the jump times. A crucial property is the non-degeneracy of the transition semigroup which is obtained thanks to the invertibility of an associated Vandermonde matrix. For Lipschitz continuous rate functions we also show that these Markovian cascades converge to equilibrium exponentially fast with respect to the Wasserstein distance. Finally, an extension of the classical thinning algorithm is proposed to simulate such Markovian cascades.

연구 동기 및 목표

• 에르랑 커널의 합으로 주어진 메모리 커널을 갖는 비선형 허크스 과정의 장기적 행동과 안정성을 분석하는 것.
• 관련 마코프 연쇄가 양의 허리스 재귀성을 가지는 조건을 확립하는 것.
• 리프시츠 연속성 조건을 만족하는 비율 함수에 대해 워샤르스탄 거리에서의 지수 수렴을 증명하는 것.
• 이러한 마코프 연쇄를 위한 새로운 희박화 기반 시뮬레이션 알고리즘을 개발하는 것.
• 에르랑 커널 기반 허크스 과정이 컴팩트한 시간 간격에서 일반적인 적분 가능 메모리 커널을 임의로 잘 근사할 수 있음을 보여주는 것.

제안 방법

• 허크스 과정의 강도 과정을 연속된 메모리 항목들로 구성된 조각적 결정론적 마코프 과정(PDMP)으로 모델링하며, 이를 마코프 연쇄로 지칭한다.
• 각 메모리 항목을 점프 사이에 결정론적으로 진화하는 보조 과정으로 표현하며, 점프 시점에서 에르랑 커널 매개변수에 의해 결정되는 흐름에 따라 갱신된다.
• 점프 시간에 대한 적분 by parts를 적용하여 전이 밀도를 분석하고, 준군의 비퇴화성을 확립한다.
• 관련된 바르데모네 행렬의 가역성을 활용하여 전이 밀도가 엄격히 양수임을 보장함으로써 재귀성 분석을 가능하게 한다.
• 커플링 기법과 워샤르스탄 거리를 활용하여 비율 함수의 리프시츠 연속성 조건 하에서 평형 상태로의 지수 수렴을 증명한다.
• 에르랑 커널이 유도하는 마코프 구조를 활용하여 고전적 희박화 알고리즘을 확장하여 마코프 연쇄의 시뮬레이션을 수행한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 에르랑-합 메모리 커널을 갖는 비선형 허크스 과정과 관련된 마코프 연쇄가 양의 허리스 재귀성을 가지는 조건은 무엇인가?
• RQ2 에르랑 커널 분해의 구조는 허크스 과정을 PDMP 프레임워크로 환원하는 데 어떻게 기여하는가?
• RQ3 이러한 과정에 대해 워샤르스탄 거리에서의 지수 수렴을 보장하는 조건은 무엇인가?
• RQ4 마코프 연쇄의 전이 밀도가 비퇴화적임을 증명할 수 있으며, 그 방법은 무엇인가?
• RQ5 고전적 희박화 알고리즘은 어떻게 수정되어 에르랑-합 메모리 커널을 갖는 비선형 허크스 과정을 시뮬레이션할 수 있는가?

주요 결과

• 에르랑-합 메모리 커널을 갖는 비선형 허크스 과정과 관련된 마코프 연쇄는 표준의 초임계 조건 ‖f′‖L∞ < 1 하에서 양의 허리스 재귀성을 갖는다.
• 리프시츠 연속 비율 함수에 대해 워샤르스탄 거리에서의 지수 수렴이 확립되며, 수렴 속도는 에르랑 커널의 매개변수에 따라 달라진다.
• 커널 매개변수로부터 구성된 바르데모네 행렬의 가역성을 통해 전이 준군의 비퇴화성이 증명되며, 이는 엄격히 양수인 밀도 존재를 보장한다.
• 마코프 연쇄의 마코프 성질을 활용한 희박화 알고리즘의 확장 덕분에 이러한 과정의 시뮬레이션이 가능해진다.
• 에르랑-합 메모리 커널의 클래스는 L¹(ℝ₊)에서 조밀하므로, 임의의 적분 가능 메모리 커널은 컴팩트한 시간 간격에서 임의로 잘 근사할 수 있다.
• 재귀성 증명은 미분형사와 변수변환을 활용한 재귀적 귀납법에 기반하며, 핵심 단계는 변환의 야코비안 행렬식이 0이 아니라는 것임.