[논문 리뷰] Stability for the inverse source problems in elastic and electromagnetic waves

Gang Bao, Peijun Li외 1명|arXiv (Cornell University)|2017. 03. 11.

Numerical methods in inverse problems참고 문헌 43인용 수 4

한 줄 요약

이 논문은 다중 주파수 데이터를 활용하여 탄성파 및 전자기파의 역원천 문제에 대한 유일성과 안정성을 확립한다. 적분방정식, 해석적 계속, 그린 텐서의 점근 전개를 활용하여 증명한 바, 주파수 대역이 넓어질수록 재구성 오차가 감소하는 증가하는 안정성이 나타나며, 고주파 성분의 꼬리가 감소함으로써 딜리클레 경계 조건만으로도 악조건 문제의 영향을 줄인다.

ABSTRACT

This paper concerns the inverse source problems for the time-harmonic elastic and electromagnetic wave equations. The goal is to determine the external force and the electric current density from boundary measurements of the radiated wave field, respectively. The problems are challenging due to the ill-posedness and complex model systems. Uniqueness and stability are established for both of the inverse source problems. Based on either continuous or discrete multi-frequency data, a unified increasing stability theory is developed. The stability estimates consist of two parts: the Lipschitz type data discrepancy and the high frequency tail of the source functions. As the upper bound of frequencies increases, the latter decreases and thus becomes negligible. The increasing stability results reveal that ill-posedness of the inverse problems can be overcome by using multi-frequency data. The method is based on integral equations and analytical continuation, and requires the Dirichlet data only. The analysis employs asymptotic expansions of Green's tensors and the transparent boundary conditions by using the Dirichlet-to-Neumann maps. In addition, for the first time, the stability is established on the inverse source problems for both the Navier and Maxwell equations.

연구 동기 및 목표

• 탄성파 및 전자기파 방정식에서의 역원천 문제에 대한 유일성과 안정성을 확립하기 위해.
• 다중 주파수 데이터를 활용하여 나비에(탄성) 및 맥스웰(전자기) 방정식에 대한 통합된 증가 안정성 이론을 개발하기 위해.
• 고주파 데이터를 활용하여 재구성 오차를 줄임으로써 역원천 문제의 악조건 문제를 극복하기 위해.
• 디리클레 경계 조건만 요구되며, 노이만 데이터나 제약 조건이 있는 원천 가정이 필요 없도록 하기 위해.
• 스칼라 헬름홀츠 방정식의 다중 주파수 안정성 결과를 복소적인 구조를 가진 벡터파 방정식으로 확장하기 위해.

제안 방법

• 나비에 및 맥스웰 방정식의 기본 해(그린 텐서)로부터 유도된 적분방정식을 사용한다.
• 파동장의 해석성 특성을 이용하여 저주파수에서 고주파수로의 해를 연장하기 위해 해석적 계속 기법을 적용한다.
• 주파수 도메인에서 그린 텐서의 점근 전개를 활용하여 저주파 및 고주파 성분을 분리한다.
• 도메인 내에서 복사 조건을 모델링하기 위해 딜리클레-노이만 사상에 의한 투명 경계 조건을 사용한다.
• 구형 및 평면 경계에서의 푸리에 분석을 통해 소볼레프 노름과 경계값 공간을 특성화한다.
• 라이프시츠 유형의 데이터 불일치와 함께 감쇠하는 고주파 성분을 포함하는 새로운 안정성 추정식을 도입한다. 이 성분은 최고 주파수 한계에 의해 제어된다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 다중 주파수 데이터를 활용하여 탄성파 및 전자기파의 역원천 문제에 대해 증가 안정성을 확립할 수 있는가?
• RQ2 원천 함수의 고주파 성분 꼬리가 재구성 오차에 미치는 영향은 무엇이며, 이를 무시할 수 있을 정도로 줄일 수 있는가?
• RQ3 디리클레 경계 조건만으로도 안정성을 확보할 수 있는가? 노이만 데이터가 필요 없는가?
• RQ4 탄성 및 전자기학의 벡터파 방정식에 대해 동일한 수학적 프레임워크를 통합할 수 있는가?
• RQ5 다중 주파수 데이터는 벡터파 시스템의 역원천 문제에서 악조건 문제를 어느 정도 감소시킬 수 있는가?

주요 결과

• 탄성(나비에) 및 전자기(맥스웰)파 방정식에서의 역원천 문제에 대해 엄밀한 유일성과 안정성이 확립되었다.
• 이 논문은 새로운 증가 안정성 추정식을 증명한다: 최고 주파수 한계가 커질수록 원천 함수의 고주파 성분 꼬리가 감소하여 재구성 오차가 감소한다.
• 안정성 추정식은 라이프시츠 유형의 데이터 불일치와 함께 감소하는 고주파 성분으로 구성되며, 주파수 대역폭이 넓어질수록 이 성분이 줄어든다.
• 기존 연구들과 달리 이 방법은 딜리클레 경계 조건만 요구되며, 노이만 데이터가 필요하지 않다.
• 분석은 그린 텐서의 점근 전개와 해석적 계속에 기반하여 안정성 한계를 도출한다.
• 이 연구는 다중 주파수 데이터를 활용하여 나비에 및 맥스웰 방정식에서의 역원천 문제에 대해 안정성을 확립한 최초의 작업이다.