[논문 리뷰] Stability in the inverse source problem for elastic and electromagnetic waves with multi-frequencies

Gang Bao, Peijun Li외 1명|arXiv (Cornell University)|2017. 03. 11.

Numerical methods in inverse problems참고 문헌 38인용 수 9

한 줄 요약

이 논문은 다중 주파수 데이터를 활용하여 탄성 및 전자기파 방정식의 역원천 문제에 대한 유일성과 안정성을 확립한다. 적분방정식, 해석적 계속, 그리고 딜레르흐-투-노이만 사상에 기반하여, 주파수 대역이 넓어질수록 악화되는 불안정성이 감소함을 증명한다. 이는 원천 추정치의 고주파 성분이 감소하기 때문이다.

ABSTRACT

This paper concerns the inverse source problems for the time-harmonic elastic and electromagnetic wave equations. The goal is to determine the external force and the electric current density from boundary measurements of the radiated wave field, respectively. The problems are challenging due to the ill-posedness and complex model systems. Uniqueness and stability are established for both of the inverse source problems. Based on either continuous or discrete multi-frequency data, a unified increasing stability theory is developed. The stability estimates consist of two parts: the Lipschitz type data discrepancy and the high frequency tail of the source functions. As the upper bound of frequencies increases, the latter decreases and thus becomes negligible. The increasing stability results reveal that ill-posedness of the inverse problems can be overcome by using multi-frequency data. The method is based on integral equations and analytical continuation, and requires the Dirichlet data only. The analysis employs asymptotic expansions of Green's tensors and the transparent boundary conditions by using the Dirichlet-to-Neumann maps. In addition, for the first time, the stability is established on the inverse source problems for both the Navier and Maxwell equations.

연구 동기 및 목표

• 탄성 및 전자기파 방정식의 역원천 문제의 악성 불안정성 문제를 다루기 위해.
• 경계 측정치로부터 외부 힘과 전류 밀도를 재구성할 때 유일성과 안정성을 확립하기 위해.
• 주파수 대역이 넓어질수록 안정성이 향상되는 다중 주파수 데이터를 위한 통합 프레임워크를 개발하기 위해.
• 네비에(탄성) 및 맥스웰(전자기) 방정식에 대해 처음으로 안정성 결과를 확장하기 위해.
• 상한 주파수 경계가 증가할수록 원천 함수의 고주파 성분이 무시 가능해지는 것을 보여주기 위해.

제안 방법

• 탄성 및 전자기학에 대한 시간 조화 파동 방정식을 사용하여 역원천 문제를 수립한다.
• 적분방정식 방법과 해석적 계속을 적용하여 경계 데이터로부터 영역 내부로 정보를 전파한다.
• 디릴리흐-투-노이만 사상을 사용하여 투명 경계 조건을 모델링하고 경계 정보를 추출한다.
• 그린 텐서의 점근적 전개를 사용하여 고주파 영역에서 파동장의 거동을 분석한다.
• 리프시츠 유형의 데이터 불일치와 원천의 감소하는 고주파 성분을 조합한 안정성 추정식을 유도한다.
• 노이만 또는 혼합 데이터가 필요 없이 딜레르흐 경계 데이터에만 의존한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 다중 주파수 데이터를 사용하여 탄성 및 전자기파의 역원천 문제에 대해 유일성과 안정성을 확립할 수 있는가?
• RQ2 주파수 대역이 넓어질수록 역원천 문제의 안정성은 어떻게 향상되는가?
• RQ3 원천 함수의 고주파 성분은 역문제의 악성 불안정성에 어떤 역할을 하는가?
• RQ4 네비에 및 맥스웰 방정식에 대해 통합 이론적 프레임워크를 개발할 수 있는가?
• RQ5 다중 주파수 데이터를 사용함으로써 역문제의 악성 불안정성은 어느 정도 완화될 수 있는가?

주요 결과

• 탄성 및 전자기파 방정식의 역원천 문제에 대해 엄밀한 유일성과 안정성이 입증되었다.
• 안정성 추정식은 리프시츠 유형의 항과 상한 주파수 경계가 증가할수록 감소하는 고주파 성분으로 구성된다.
• 주파수 대역이 충분히 넓어지면 고주파 성분이 무시 가능해지며, 이로 인해 안정성이 향상된다.
• 디릴리흐 경계 측정치 이외의 추가 데이터가 필요 없이 증가하는 안정성을 달성한다.
• 이 논문은 네비에 및 맥스웰 방정식에 대해 역원천 문제의 이러한 안정성 결과를 처음으로 확립한 작업이다.
• 이론적 프레임워크는 통합적이며 연속적 및 이산적 다중 주파수 데이터 모두에 적용 가능하다.