[논문 리뷰] Stability issues of entropy-stable and/or split-form high-order schemes

Gregor J. Gassner, Magnus Svärd외 1명|arXiv (Cornell University)|2020. 07. 17.

Computational Fluid Dynamics and Aerodynamics인용 수 6

한 줄 요약

이 논문은 엔트로피 안정성 및 분할형 고차수 스킴에서 임계적인 불안정성을 규명하며, 비선형적으로 안정된 방법이라도 엔트로피 보존 두점 유량에서의 반산산성 행동으로 인해 국소적 에너지 불안정성이 발생할 수 있음을 보여준다. 버거스 방정식과 유동 방정식에 대한 수치 실험은 고차수 정확도와 엔트로피 안정성에도 불구하고 수치적 변동의 지수적 증가를 보이며 신뢰성에 영향을 준다.

ABSTRACT

The focus of the present research is on the analysis of local energy stability of high-order (including split-form) summation-by-parts methods, with e.g. two-point entropy-conserving fluxes, approximating non-linear conservation laws. Our main finding is that local energy stability, i.e., the numerical growth rate does not exceed the growth rate of the continuous problem, is not guaranteed even when the scheme is non-linearly stable and that this may have adverse implications for simulation results. We show that entropy-conserving two-point fluxes are inherently locally energy unstable, as they can be dissipative or anti-dissipative. Unfortunately, these fluxes are at the core of many commonly used high-order entropy-stable extensions, including split-form summation-by-parts discontinuous Galerkin spectral element methods (or spectral collocation methods). For the non-linear Burgers equation, we further demonstrate numerically that such schemes cause exponential growth of errors during the simulation. Furthermore, we encounter a similar abnormal behaviour for the compressible Euler equations, for a smooth exact solution of a density wave. Finally, for the same case, we demonstrate numerically that other commonly known split-forms, such as the Kennedy and Gruber splitting, are also locally energy unstable.

연구 동기 및 목표

• 비선형 보존법에 대한 엔트로피 안정성 및 분할형 고차수 스킴의 국소적 에너지 안정성 조사.
• 비선형 안정성이 고차수 방법에서 국소적 에너지 안정성을 보장하는지 확인.
• 일반적으로 사용되는 엔트로피 안정성 스킴에서의 수치 불안정성의 근본 원인 규명, 특히 두점 엔트로피 보존 유량 기반의 경우.
• 버거스 및 압축성 유동 방정식과 같은 유체역학 방정식의 실용적 시뮬레이션에 이러한 불안정성이 미치는 영향 평가.
• 체적 또는 인터페이스에서의 표준 소산 메커니즘이 고차수 정확도를 훼손하지 않고 국소적 에너지 안정성을 복원할 수 있는지 평가.

제안 방법

• 비선형 문제의 고차수 합성-적분(SBP) 스킴의 선형 안정성 분석을 위해 바르니에르 분석 및 고유값 스펙트럼을 활용.
• 연속 문제에 대한 수치 성장률과의 비교를 통해 국소적 에너지 안정성 조건 유도.
• 비선형 보존법에 대해 분할형 SBP 스킴 내에서 엔트로피 보존 두점 유량 적용.
• 부드러운 정확한 해를 가진 비선형 버거스 방정식 및 압축성 유동 방정식에 대한 수치 시뮬레이션 수행.
• 켄네디 및 그루버 분할, 다양한 분할형 변형을 테스트하여 에너지 안정성 특성 평가.
• 메esh 정밀도 향상이 스펙트럼과 지수 성장률에 미치는 영향 분석을 통해 라크스 안정성 잠재력 평가.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 고차수 엔트로피 안정성 스킴에서 비선형 안정성이 국소적 에너지 안정성을 보장하는가?
• RQ2 왜 엔트로피 보존 두점 유량이 고차수 스킴에서 반산산성 행동을 유도하는가?
• RQ3 체적 항 또는 인터페이스 유량을 통한 소산 추가로 분할형 SBP 스킴에서 국소적 에너지 안정성을 복원할 수 있는가?
• RQ4 메쉬 정밀도 향상은 이러한 스킴에서 지수 오차 증가의 크기와 시기 영향을 어떻게 미치는가?
• RQ5 일반적으로 사용되는 분할형, 예를 들어 켄네디 및 그루버 스킴도 국소적 에너지 불안정성에 시달리는가?

주요 결과

• 엔트로피 보존 두점 유량은 반산산성 행동를 보일 수 있어 국소적 에너지 안정성이 본질적으로 불안정하며, 이로 인해 수치 변동이 지수적으로 증가한다.
• 비선형 버거스 방정식의 수치 시뮬레이션에서 엔트로피 안정성 스킴는 비선형 안정성에도 불구하고 지수적 오차 증가를 경험한다.
• 부드러운 해를 가진 압축성 유동 방정식의 경우, 엔트로피 보존 및 엔트로피 소산 분할형 스킴가 비물리적 밀도 변동의 지수적 증가로 조기에 붕괴된다.
• 일반적으로 운동에너지 보존을 위해 사용되는 켄네디 및 그루버 분할형 스킴도 동일한 조건에서 국소적 에너지 불안정성을 보인다.
• 메쉬 정밀도 향상은 잘못된 고유값을 제거하지는 않지만, 고주파수로 이동시키고 지수 성장의 시작 시점을 연기하여 h→0일 때 라크스 안정성 잠재력이 있음을 시사한다.
• 고차수 정확도를 훼손하지 않고 국소적 에너지 안정성을 복원할 수 있는 간단한 소산 전략을 발견하지 못하였으며, 이는 현재 SBP 분할형 스킴의 기본 설계 과제를 시사한다.