[논문 리뷰] Stability of an abstract system with infinite history

Abderrahmane Youkana|arXiv (Cornell University)|2018. 05. 21.

Stability and Controllability of Differential Equations인용 수 6

한 줄 요약

이 논문은 무한 기억을 지닌 선형 점성체계에 대해, 이는 $ g'(t) \leq -\xi(t)g^p(t) $ 조건을 만족하는 완화 함수를 갖는 적분미분방정식으로 기술되며, $ 1 \leq p < \frac{3}{2} $ 인 경우에 대해 향상된 에너지 감쇠율을 확립한다. 새로운 리아푸노프 함수를 도입하고 완화 함수의 구조를 활용하여 기존 문헌에서의 결과보다 향상된 최적의 감쇠 추정을 도출한다. 특히 다항 및 일반 감쇠율에 대해 뛰어난 성능을 발휘한다.

ABSTRACT

This work is concerned with stabilization of an abstract linear dissipative integrodiffrential equation with infinite memory modeling linear viscoelasticity where the relaxation function satisfies $ g'(t)\leq -ξ(t)g^p(t), \forall t\geq 0, 1\leq p

연구 동기 및 목표

• 무한 기억을 지닌 선형 비탄성 적분미분방정식의 안정성과 에너지 감쇠를 분석한다.
• 완화 함수가 $ g'(t) \leq -\xi(t)g^p(t) $, $ 1 \leq p < \frac{3}{2} $ 를 만족하는 체계에 대해 기존 문헌의 감쇠율 결과를 향상시킨다.
• 완화 조건에 맞게 조정된 새로운 리아푸노프 함수 접근법을 통해 지수 또는 다항 감쇠율보다 더 빠른 감쇠를 포착하는 일반 감쇠 추정을 수립한다.
• 특히 $ A = B $ 인 경우 또는 $ A $, $ B $ 에 대한 구조적 가정 하에 [6] 및 [7]의 이전 결과를 확장하고 정밀화한다.

제안 방법

• 에너지 $ E(t) $, $ \eta^t $ 의 가중 적분, $ g $ 와 $ \xi $ 를 포함하는 볼록 함수기반의 새로운 리아푸노프 함수 $ \mathcal{L}(t) $ 를 정의하여, 히스토리 $ \eta^t(s) = u(t) - u(t-s) $ 를 활용해 힐버트 공간 $ \mathcal{H} = \mathcal{D}(A^{1/2}) \times \mathcal{H} \times L^2_g(\mathbb{R}_+, \mathcal{D}(B^{1/2})) $ 에서의 일阶 추상 진화 체계로 문제를 재구성한다.
• 완화 조건 $ g' \leq -\xi g^p $ 를 활용해 $ E'(t) $, $ \xi(t) \int_0^t g(s)\|A^{1/2}B^{1/2}\eta^t(s)\|^2 ds $, 및 $ h(t) = \xi(t) \int_t^\infty g(s) ds $ 를 포함하는 미분 부등식을 유도한다.
• 미분 부등식 기법을 적용하여 $ E(t) $ 를 $ \int_0^t \xi^{\alpha+1}(s) ds $ 와 $ \int_0^t h^{\alpha+1}(s) ds $ 로 bound하며, 이때 $ \alpha = 2p - 2 $ 이다. 이를 통해 감쇠 추정을 도출한다.
• 완화 함수의 구조 $ g(t) = a(1+t)^{-q} $, $ q > 2 $ 를 활용하여 명시적 감쇠율을 유도하고 이전 연구와 비교한다.
• 에너지 제어 및 감쇠 보장의 목적으로 $ \|A^{1/2}v\|^2 \leq a_2 \|B^{1/2}v\|^2 $ 또는 $ \|A^{1/2}v\|^2 \leq a_2 \|A^{1/2}B^{1/2}v\|^2 $ 라는 가정을 활용한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 완화 함수가 $ g'(t) \leq -\xi(t)g^p(t) $ 를 만족할 때, 무한 기억을 지닌 점성체계의 에너지 감쇠율을 향상시킬 수 있는가? $ 1 \leq p < \frac{3}{2} $
• RQ2 동일한 완화 조건 하에서, [6] 및 [7]의 결과와 비교해 에너지 $ E(t) $ 의 감쇠율은 어떻게 되는가?
• RQ3 완화 함수 $ g(t) = a(1+t)^{-q} $, $ q > 2 $ 일 때, $ E(t) $ 의 최적 감쇠 추정은 무엇이며, 이는 (1.7) 또는 (1.8)의 구조적 가정에 어떻게 의존하는가?
• RQ4 일반 조건 $ g' \leq -\xi g^p $, $ p < 1.5 $ 하에서 전체 감쇠 행동을 포착하는 리아푸노프 함수를 구성할 수 있는가?
• RQ5 이 새로운 감쇠 추정은 동일한 종류의 완화 함수를 갖는 이전 문헌의 다항 및 지수 감쇠 결과를 초월하는가?

주요 결과

• 완화 함수 $ g(t) = a(1+t)^{-q} $, $ q > 2 $ 일 때, 조건 (1.7) 하에서 에너지 감쇠율은 $ E(t) \leq C(1+t)^{\frac{-q^2 + q + 1}{q}} $ 로 나타나며, 이는 [7]에서 유도된 $ (1+t)^{-p} $ 감쇠율($ p < \frac{q-1}{2} $) 보다 더 빠르다.
• 조건 (1.8) 하에서 에너지 감쇠율은 $ E(t) \leq C t^{-\frac{q}{q+1}} $ 로 나타나며, 이는 [7]의 $ (1+t)^{-\frac{p}{p+1}} $ 감쇠율($ p < \frac{q-1}{2} $) 보다 더 빠르다.
• 감쇠율 $ E(t) \leq C(1+t)^{\frac{-q^2 + q + 1}{q}} $ 는 $ q > 2 $ 인 경우 [7]에서 도출된 다항 감쇠율보다 향상된 바를 보이며, 최적성의 의미에서 최적이다.
• 추정식 $ E(t) \leq C \left( \frac{E_2(0) + E^{2p-1}(0) + \int_0^t h^{2p-1}(s) ds}{\int_0^t \xi^{2p-1}(s) ds} \right)^{\frac{1}{2p-1}} $ 는 $ 1 \leq p < \frac{3}{2} $ 에 대해 일반 감쇠 프레임워크를 제공하며, 이는 이전 결과를 확장한다.
• 이 방법은 이전 연구에서 완전히 다루지 못한 $ p < \frac{3}{2} $ 의 경우를 성공적으로 다루며, 기존 문헌보다 더 날카운 감쇠 추정을 제공한다.