[논문 리뷰] Stability of an upwind Petrov Galerkin discretization of convection diffusion equations

Snorre H. Christiansen, Tore Gunnar Halvorsen외 1명|arXiv (Cornell University)|2014. 06. 02.

Differential Equations and Numerical Methods참고 문헌 3인용 수 5

한 줄 요약

이 논문은 점성계수가 작아 작은 점성계수에서의 대류지배 영역에서 대류-확산 방정식에 적용된 업윈드 페트로프-갈레르킨 유한요소 방법의 안정성을 확립한다. 이는 이방향성 H^{1/2} 노름과 에너지 유사 항을 사용하여 메쉬 크기와 점성계수에 대해 일관되게 연속성과 인프-섭 조건을 증명한다. 이는 대류층이 존재하는 경우에도 로그 인자까지 유지되며, 이는 대류층이 존재하는 경우에도 성립한다.

ABSTRACT

We study a numerical method for convection diffusion equations, in the regime of small viscosity. It can be described as an exponentially fitted conforming Petrov-Galerkin method. We identify norms for which we have both continuity and an inf-sup condition, which are uniform in mesh-width and viscosity, up to a logarithm, as long as the viscosity is smaller than the mesh-width or the crosswind diffusion is smaller than the streamline diffusion. The analysis allows for the formation of a boundary layer.

연구 동기 및 목표

• 대류지배 영역에서 대류-확산 방정식에 대한 페트로프-갈레르킨 방법의 균일한 안정성을 확립하기 위해.
• 유출 경계에서 경계층 형성이 가능한 조건 하에서 방법을 분석하기 위해.
• 연속성과 인프-섭 조건이 메쉬 크기와 점성계수에 대해 균일하게 유지되는 노름—특히 이방향성 H^{1/2} 및 에너지 노름—을 규명하기 위해.
• 일차원 안정성 기법을 횡방향 확산이 존재하는 다차원 문제로 확장하기 위해.
• 특히 정렬된 메쉬에 대해 유한요소 외부 미분 계산과 지수적 피팅 기반의 유한요소 방법에 대한 이론적 기초를 제공하기 위해.

제안 방법

• 시험 공간은 국소 수반 문제를 풀어 유도된 업윈드된 시험 공간을 사용하는 조화 유한요소 해석 공간을 사용한다.
• 점성계수에 의존하는 시험 함수를 사용하는 페트로프-갈레르킨 형식을 사용하며, 이는 대류지배 흐름에서 지수적 피팅을 모방한다.
• 분석은 [3]에 영감을 받은 파arabolic 모델에 기반하며, 시간을 흐름 방향에 맞추어 공간 변수로 간주한다.
• 핵심 도구로 힐버트 변환과 불연속 함수를 수용하고 경계층 행동을 포착하는 H^{1/2}의 변종인 비소수 공간(Besov 공간)을 사용한다.
• 연속성과 인프-섭 추정은 조각별 상수에 대한 투영과 조각별 애프라인에서 업윈드된 함수로의 노드 보간을 통해 유도된다.
• 다차원에서, 횡방향 확산을 고려하기 위해 페클레 수 조건을 도입하고 이방향성 확산 항을 제어한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 업윈드된 시험 함수를 갖는 페트로프-갈레르킨 방법이 대류지배 영역에서 균일한 안정성을 달성할 수 있는가?
• RQ2 점성계수가 0으로 수렴할 때에도 연속성과 인프-섭 안정성 조건을 유지하는 데 어떤 노름이 보장되는가?
• RQ3 특히 경계층 두께가 메쉬 크기보다 작을 경우, 방법은 출구 영역의 경계층을 어떻게 다루는가?
• RQ4 일차원 안정성 프레임워크는 다차원 대류-확산 문제로 얼마나 넓게 확장될 수 있는가?
• RQ5 횡방향 확산이 존재할 경우 페클레 수는 안정성을 확보하는 데 어떤 역할을 하는가?

주요 결과

• 이 방법은 점성계수에 대해 로그 인자까지 균일하게 연속성과 인프-섭 조건을 확보한다. 이는 노름 $\|u\|_{\alpha} = \|u\|_{\mathrm{H}^{1/2}_{00}(0,T)\otimes\mathrm{L}^{2}(V)} + \alpha^{1/2}\|\nabla u\|_{\mathrm{L}^{2}(U)}$ 에서 성립한다.
• 페클레 수가 충분히 크거나 횡방향 확산이 스트림라인 확산에 비해 작을 경우, 인프-섭 조건은 메쉬 크기와 점성계수에 대해 균일하게 유지된다.
• 경계층이 존재하는 경우에도 안정성 추정이 강인하며, 이는 지수적 경계층 프로파일의 H^{1/2}_{00} 노름의 행동을 통해 입증된다.
• 노름 $\|v\|_{\alpha}^{\prime} = \|v\|_{\mathrm{H}^{1/2}(0,T)\otimes\mathrm{L}^{2}(V)} + \alpha^{1/2}\|\nabla v\|_{\mathrm{L}^{2}(U)}$ 는 구성된 시험 함수에 대해 $\|v\|_{\alpha}^{\prime} \preccurlyeq |\log(\alpha)|\|u\|_{\alpha}$ 를 만족한다.
• 이중형식은 $\int \beta \dot{u} v + \int \gamma u v + \alpha \int \nabla u \cdot \nabla v \succcurlyeq \|u\|_{\alpha}^2$ 를 만족하여, 로그 인자까지 인프-섭 조건이 확인된다.
• 분석 결과, 일반적인 경계층 해에서 H^{1/2}_{00} 노름의 $|\log(\alpha)|^{1/2}$ 붕괴로 인해 $\alpha$-독립적 인프-섭 조건은 불가능하다.