[논문 리뷰] Stability of analytical solutions and convergence of numerical methods for non-linear stochastic pantograph differential equations

Minghui Song, Yulan Lu외 1명|arXiv (Cornell University)|2015. 01. 31.

Stochastic processes and financial applications참고 문헌 8인용 수 3

한 줄 요약

이 논문은 비선형 확률 펀타그로프 미분방정식(SPDEs)에 대한 반음성적 오일러 방법의 수렴성을 증명하고, 해의 다항 안정성에 대한 충분조건을 설정한다. 리프시츠 유형 조건 하에서 평균제곱 및 거의확실한 다항 안정성을 도출하였으며, 비드라이프 및 확산 계수에 대한 적절한 가정 하에 이차 일致성 및 평균제곱 및 평균 의미에서 수렴성을 증명하였으며, 수렴 차수는 $ O(h^{1/2}) $ 이다.

ABSTRACT

In this paper, we study the polynomial stability of analytical solution and convergence of the semi-implicit Euler method for non-linear stochastic pantograph differential equations. Firstly, the sufficient conditions for solutions to grow at a polynomial rate in the sense of mean-square and almost surely are obtained. Secondly, the consistence and convergence of this method are proved. Furthermore, the orders of consistence (in the sense of average and mean-square) and convergence are given, respectively.

연구 동기 및 목표

• 비선형 확률 펀타그로프 미분방정식(SPDEs)의 해에 대한 다항 안정성 분석.
• 해가 평균제곱 및 거의확실한 의미에서 다항 속도로 증가할 수 있는 충분조건 설정.
• 펀타그로프 유형 지연을 가진 SPDEs에 대한 반음성적 오일러 방법의 일致성 및 수렴성 조사.
• 수치적 방법의 평균제곱 및 평균 의미에서 일치 및 수렴 차수 도출.

제안 방법

• 스토케스 미분방정식을 위한 라플라스 유형 함수 및 비교 원리를 사용하여 다항 안정성에 대한 충분조건 유도.
• 반음성적 오일러 방법을 사용하여 SPDE를 이산화하며, 음성성 정도를 제어하는 매개변수 $ \theta \in [0,1] $ 를 포함.
• 이토의 공식 및 모멘트 추정을 사용하여 정확한 해와 수치 해 간의 오차를 제한.
• 조건부 기대 및 마팅게일 성질을 포함한 재귀 부등식을 통해 오차 한계 설정.
• 그로워발 유사 추론 및 확률 추정을 적용하여 시간에 따른 오차 전파 제어.
• 시간 격자 상에서 최대 오차를 제한함으로써 평균제곱 의미에서 수렴 차수 $ O(h^{1/2}) $ 도출.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 팬타그로프 지연을 가진 비선형 SPDEs의 해가 평균제곱 의미에서 다항 안정성을 보이기 위한 조건은 무엇인가?
• RQ2 이러한 SPDEs에서 영 해의 거의확실한 다항 안정성을 보장하는 충분조건는 무엇인가?
• RQ3 반음성적 오일러 방법은 이러한 방정식들에 대해 일치성 및 수렴성 측면에서 어떻게 성능을 발휘하는가?
• RQ4 반음성적 오일러 방법의 평균제곱 및 평균 의미에서 일치 및 수렴 차수는 무엇인가?
• RQ5 비드라이프 및 확산 계수의 리프시츠 성질은 수렴 행동에 어떻게 영향을 미치는가?

주요 결과

• 비드라이프 및 확산 계수가 특정 리프시츠 조건을 만족하고, 시스템 매개변수 $ \bar{a} + \bar{b} q^\alpha = 0 $ 를 만족하며 $ \alpha < 0 $ 일 경우, 영 해는 평균제곱 다항 안정성을 갖는다.
• 동일한 리프시츠 조건 하에서 거의확실한 다항 안정성이 성립하며, 해는 거의확실하게 $ t^\alpha $ 의 속도로 감쇠한다.
• 반음성적 오일러 방법은 평균 의미에서 일치 차수 $ O(h) $ 와 평균제곱 의미에서 일치 차수 $ O(h^{1/2}) $ 를 갖는다.
• 방법은 평균제곱 의미에서 $ O(h^{1/2}) $ 의 수렴 차수를 갖으며, 시간 간격 $[0,T]$ 전반에 걸쳐 균일하게 성립한다.
• 수렴 결과는 $ \theta \in [0,1] $ 에 대해 성립하며, 지연 비율 $ q \in (0,1) $ 에 대해 오차 한계가 독립적이며, $ h $ 가 충분히 작을 경우 성립한다.
• 오차 추정은 시간에 대해 균일하며, 초기 조건 및 계수의 리프시츠 상수에 의존한다.