[논문 리뷰] Stability of equilibrium and periodic solutions of a delay equation modeling leukemia

Anca-Veronica Ion, Raluca-Mihaela Georgescu|arXiv (Cornell University)|2010. 01. 29.

Chronic Myeloid Leukemia Treatments참고 문헌 8인용 수 6

한 줄 요약

이 논문은 만성 호산구성 백혈병을 모델링하는 지연 미분방정식에서 허프 분기로부터 유도된 주기적 해의 안정성을 분석한다. 중심다양체 축소와 정규형 이론을 사용하여 첫 번째 리아프노프 계수를 계산함으로써, 지연이 허프 분기 임계값을 초과할 경우 주기적 궤도가 안정적임을 밝혀내었으며, 특정 파라미터 조건 하에서의 수치 시뮬레이션으로 확인하였다.

ABSTRACT

We consider a delay differential equation that occurs in the study of chronic myelogenous leukemia. After shortly reminding some previous results concerning the stability of equilibrium solutions, we concentrate on the study of stability of periodic solutions emerged by Hopf bifurcation from a certain equilibrium point. We give the algorithm for approximating a center manifold at a typical point (in the parameter space) of Hopf bifurcation (and an unstable manifold in the vicinity of such a point, where such a manifold exists). Then we find the normal form of the equation restricted to the center manifold, by computing the first Lyapunov coefficient. The normal form allows us to establish the stability properties of the periodic solutions occurred by Hopf bifurcation.

연구 동기 및 목표

• 만성 호산구성 백혈병을 모델링하는 지연 미분방정식의 비자명한 평형점에서 허프 분기로 발생하는 주기적 해의 안정성을 조사하기 위해.
• 허프 분기점 근처에서 중심다양체와 불안정다양체를 근사하는 알고리즘을 개발하기 위해.
• 중심다양체에 제한된 방정식의 정규형을 첫 번째 리아프노프 계수를 사용하여 계산하기 위해.
• 허프 분기로 인해 발생하는 주기적 해의 안정성 특성을 규명하기 위해.

제안 방법

• 연구는 허프 분기점 근처에서 무한차원 지연 미분방정식을 유한차원 시스템으로 축소하기 위해 중심다양체 이론을 사용한다.
• 분기하는 주기적 해의 안정성을 결정하기 위해 정규형 이론을 적용하여 첫 번째 리아프노프 계수를 계산한다.
• 벡터장의 타일러 전개에서 두 번째 항을 구하기 위한 방정식계를 풀며, 특성방정식과 고유값 분석을 사용한다.
• 기호 계산을 통해 중심다양체와 정규형 계수를 계산하는 알고리즘이며, w11(0), w11(-r), f21에 대한 명시적 공식이 포함되어 있다.
• 주기적 궤도의 안정성은 첫 번째 리아프노프 계수의 부호에 의해 결정되며, 음수일 경우 안정, 양수일 경우 불안정이다.
• 이론적 예측을 확인하기 위해 특정 파라미터 조합과 초기 조건을 사용한 수치적 검증을 수행한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 만성 호산구성 백혈병을 모델링하는 지연 미분방정식에서 허프 분기로부터 발생하는 주기적 해의 안정성은 무엇인가?
• RQ2 허프 분기점에서 이들 지연 미분방정식의 중심다양체와 정규형을 어떻게 계산할 수 있는가?
• RQ3 첫 번째 리아프노프 계수가 분기하는 주기적 해의 안정성 결정에 어떤 역할을 하는가?
• RQ4 지연 파라미터 r의 변화가 평형점의 안정성과 주기적 행동의 발생에 어떻게 영향을 미치는가?
• RQ5 수치 시뮬레이션은 주기적 해의 안정성에 대한 이론적 예측을 어느 정도 확인하는가?

주요 결과

• 파라미터 조합 n*=12, β₀*=1.77, δ*=0.05, k*=1.180746972에서, 허프 분기는 r*=0.3559207407에서 발생하며, ω*=1.661686238이다.
• 분기점에서 첫 번째 리아프노프 계수는 l₁(r*) = -43.71063로 계산되었으며, 이는 주기적 해가 안정적임을 나타낸다.
• r > r*일 경우 평형점 x₂는 불안정해지고 안정한 주기적 해가 나타나며, 이는 정규형 dρ/dt = (β(r) - ρ²)ρ (β(r) > 0)로 확인된다.
• r < r*일 경우 평형점 x₂는 여전히 안정적이며, g(r*) = 0 및 dg/dr(r*) = -20.236 조건을 만족하여 r < r*일 때 g(r) > 0임을 의미한다.
• 초기 조건 φ(s) = cos(πs/(2r))를 사용한 수치적 적분은 이론적 결과를 확인한다: r=0.35일 경우 안정한 평형점, r*=0.35592에서 분기, r=0.36일 경우 안정한 주기적 진동.
• 이론적 안정성 조건 (8)은 수치 결과와 일치한다. 즉, r < r*일 경우 평형점은 안정하고, r > r*일 경우 불안정하며, 전이 조건은 g(r)의 부호에 의해 결정된다.