[논문 리뷰] Stability of fractional-order nonlinear systems by Lyapunov direct method

Hoang The Tuan, Hieu Trinh|arXiv (Cornell University)|2017. 12. 08.

Fractional Differential Equations Solutions참고 문헌 1인용 수 4

한 줄 요약

이 논문은 이전 연구의 핵심적 한계를 극복함으로써 분수계수 비선형 시스템의 안정성 분석을 위한 엄밀한 분수계수 라플라스 함수 방법을 제안한다. 전역적 해의 존재성이나 의사상태의 미분 가능성 조건을 필요로 하지 않고, 분수도 도함수 부등식과 볼테라 적분 방정식의 성질을 활용하여 볼록 라플라스 함수 하에서 점근적 안정성을 증명한다.

ABSTRACT

In this paper, by using a characterization of functions having fractional derivative, we propose a rigorous fractional Lyapunov function candidate method to analyze stability of fractional-order nonlinear systems. First, we prove an inequality concerning the fractional derivatives of convex Lyapunov functions without the assumption on the existence of derivative of pseudo-states. Second, we establish fractional Lyapunov functions to fractional-order systems without the assumption on the global existence of solutions. Our theorems fill the gaps and strengthen results in some existing papers.

연구 동기 및 목표

• 분수도 도함수 계산의 어려움으로 인해 분수계수 비선형 시스템에 대한 엄밀한 안정성 분석 방법의 부족을 해결하기 위해.
• 기존 분수계수 라플라스 접근법에서 전역적 해의 존재성과 의사상태의 미분 가능성에 의존하는 문제를 해결하기 위해.
• 볼록 라플라스 함수와 분수도 도함수를 활용한 수학적으로 타당한 안정성 분석 프레임워크를 제공하기 위해.
• 이전 증명에서 특히 해의 행동과 도함수 존재성에 대한 잘못된 가정에 기반한 심각한 증명적 갭을 메우기 위해.
• 최소한의 정규성 가정 하에 라플라스의 제2법칙을 분수계수 시스템에 적용하기 위한 견고한 이론적 기반을 마련하기 위해.

제안 방법

• 분수도 도함수를 갖는 함수의 특성화를 활용하여 의사상태의 미분 가능성 조건 없이도 라플라스 후보 함수를 정의한다.
• 볼테라 적분 방정식의 양의 해 성질을 적용하여 최소한의 정규성 조건 하에서 안정성 조건을 도출한다.
• 의사상태의 도함수 존재성을 가정하지 않고도 볼록 라플라스 함수의 분수도 도함수에 대한 새로운 부등식을 수립한다.
• 분수계수 시스템의 전역적 해 존재성을 가정하지 않는 새로운 분수계수 라플라스 함수 프레임워크를 도입한다.
• 카푸토 분수도 도함수를 활용하고, 특정 조건 (V.i)-(V.iii)를 만족하는 라플라스 함수를 구성함으로써 점근적 안정성을 보장한다.
• 이론적 증명과 두 가지 예시를 통한 검증을 통해 방법의 타당성을 입증한다. 예시에는 삼차 비선형성을 갖는 비선형 시스템이 포함되어 있다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 전역적 해의 존재성을 가정하지 않고도 분수계수 비선형 시스템에 대해 엄밀한 라플라스 방법을 개발할 수 있는가?
• RQ2 의사상태의 도함수가 존재함을 가정하지 않고도 분수계수 라플라스 안정성 조건을 수립할 수 있는가?
• RQ3 최소한의 정규성 가정 하에서 볼록 라플라스 함수에 대한 분수도 도함수 부등식은 어떻게 증명할 수 있는가?
• RQ4 라플라스 함수를 활용한 분수계수 시스템에서 점근적 안정성에 필요한 필수 및 충분 조건은 무엇인가?
• RQ5 기존 문헌에서 잘못된 증명이 존재하는 바, 더 견고한 이론적 프레임워크를 통해 이를 수정할 수 있는가?

주요 결과

• 논문은 의사상태의 도함수가 존재함을 가정하지 않고도 볼록 라플라스 함수의 분수도 도함수에 대한 새로운 부등식을 증명한다.
• 분수계수 라플라스 함수 방법이 분수계수 시스템의 전역적 해 존재성을 가정하지 않음을 입증한다.
• 이 방법은 대칭 정부정행렬을 갖는 선형 시스템에 적용되어 자명한 해의 점근적 안정성을 증명한다.
• 비선형 시스템 $ {}^{C}D^{eta}_{0+}x(t) = -x^3(t) $에 대해, $ \beta = 0.8 $일 때 방법을 통해 자명한 해의 점근적 안정성이 확인되었으며, 수치적 궤적을 통한 검증이 이루어졌다.
• 저자들은 이전 연구에서 발견된 결함을 규명하고 수정하였으며, 특히 [6, 정리 11]과 [9, 정리 2]에서 잘못된 도함수 기반 부등식에 기반한 잘못된 가정을 수정하였다.
• 이론적 결과는 두 가지 예시를 통해 지지되며, 초기 조건이 $[-1,1]$ 범위에 있을 경우 해가 유한 시간 내에 작은 이웃 영역으로 수렴하는 것을 보여준다. 예를 들어, 초기값이 $[-1,1]$에 속할 경우 약 1000초 이내에 해가 0으로 수렴한다.