[논문 리뷰] Stability of ground state degeneracy to long-range interactions

Matthew F. Lapa, Michael Levin|arXiv (Cornell University)|2021. 07. 23.

Cold Atom Physics and Bose-Einstein Condensates인용 수 4

한 줄 요약

이 논문은 정확한 기본 상태 디세너지가 있는 특정 갭이 있는 양자 다체계가 장거리(예: 거듭제곱 법칙) 상호작용 하에서도 안정됨을 증명한다. 이는 디세너지된 기본 상태들 사이의 잔류 에너지 분리가 시스템 크기의 지수함수적으로 작은 것으로 나타나며, 장거리 상호작용에 적응된 수렴하는 고리형 전개를 사용하여 갭 안정성과 지수함수적으로 작은 분리를 엄밀히 확립한다. 이는 기존의 단거리 상호작용 결과를 장거리 상호작용으로 확장한다.

ABSTRACT

We show that some gapped quantum many-body systems have a ground state degeneracy that is stable to long-range (e.g., power-law) perturbations, in the sense that any ground state energy splitting induced by such perturbations is exponentially small in the system size. More specifically, we consider an Ising symmetry-breaking Hamiltonian with several exactly degenerate ground states and an energy gap, and we then perturb the system with Ising symmetric long-range interactions. For these models we prove (1) the stability of the gap, and (2) that the residual splitting of the low-energy states below the gap is exponentially small in the system size. Our proof relies on a convergent polymer expansion that is adapted to handle the long-range interactions in our model. We also discuss applications of our result to several models of physical interest, including the Kitaev p-wave wire model perturbed by power-law density-density interactions with an exponent greater than 1.

연구 동기 및 목표

• 장거리 상호작용 하에서 갭이 있는 양자 다체계의 기본 상태 디세너지 안정성을 확립하기 위해.
• 장거리 교란에 의해 영향을 받는 디세너지된 기본 상태들 사이의 잔류 에너지 분리가 시스템 크기의 지수함수적으로 작은지 증명하기 위해.
• 실제 물리계에서 흔한 거듭제곱 법칙 감쇠 상호작용(예: 위상적 초전도체 등)을 포함한 장거리(예: 거듭제곱 법칙) 상호작용으로 기존의 단거리 안정성 결과를 확장하기 위해.
• 정확한 기본 상태 디세너지를 가진 시스템에서 장거리 상호작용을 다룰 수 있는 수학적 프레임워크—특히 수렴하는 고리형 전개—를 개발하기 위해.

제안 방법

• 거듭제곱 법칙 감쇠를 고려한 수정된 수렴 조건을 도입하여 고리형 전개 기법을 장거리 상호작용에 적응시킨다.
• 퍼티튜레이티브 전개에 기여하는 관련 구성의 수를 제한하기 위해 최소의 약한 연결 고리형 다각형의 재귀적 구성 방법을 사용한다.
• 불연속된 구성 요소에서 연결된 고리형 다각형을 체계적으로 구축하는 정점 성장 절차를 도입하며, 제어 가능한 합산성을 유지함으로써 수렴성을 보존한다.
• 퍼티튜레이티브 급수에서 기여의 성장을 제어하기 위해 지수함수 및 거듭제곱 법칙 요소를 포함한 가중합을 적용한다.
• 하나의 부분집합 수와 $( ext{const})^m$ 요소를 사용한 합산 계산을 통해 최소의 약한 연결 고리형 다각형의 수를 유 bounds 한다.
• 총 기여가 $e^{c ilde{ ho} ho}$ 이하로 유 bounds 되는 것으로 보여 총 전개의 수렴성을 확립함으로써 갭 안정성과 지수함수적으로 작은 분리의 안정성을 보장한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 정확한 갭이 있는 양자 다체계의 기본 상태 디세너지는 장거리 상호작용 하에서도 안정하게 유지될 수 있는가?
• RQ2 장거리 상호작용에 의해 교란되었을 때, 디세너지된 기본 상태들 사이의 잔류 에너지 분리는 시스템 크기의 지수함수적으로 작은가?
• RQ3 수렴성과 지수함수 경계를 유지하면서 고리형 전개 방법을 장거리 상호작용에 적응시킬 수 있는가?
• RQ4 정확한 기본 상태 디세너지를 가진 시스템에서 이징 대칭을 가지는 장거리 교란 하에서도 갭이 열려 있는가?

주요 결과

• 에너지 갭이 장거리 교란 하에서도 열려 있으며, 시스템의 스펙트럼 갭 안정성이 입증된다.
• 디세너지된 기본 상태들 사이의 잔류 분리는 시스템 크기의 지수함수적으로 작으며, 특정한 $c>0$ 에 대해 $e^{-cL}$ 이하로 유 bounds 된다.
• 수정된 조건 하에서 고리형 전개가 수렴함을 입증하여, 기본 상태 에너지에 대한 퍼티튜레이티브 교정을 엄밀히 제어할 수 있다.
• 이 방법은 거듭제곱 법칙 감쇠 상호작용의 지수 값이 1보다 큰 모델, 예를 들어 키타에프 p-파동 와이어 모델 등에 적용 가능하다.
• 기존의 단거리 안정성 결과를 장거리 상호작용으로 일반화하여, 강건한 기본 상태 디세너지 이해에 핵심적인 빈도를 메꾸었다.