[논문 리뷰] Stability of periodic waves of 1D cubic nonlinear Schr{\\"o}dinger equations

Stephen J. Gustafson, Stefan Le Coz외 1명|arXiv (Cornell University)|2016. 06. 14.

Advanced Mathematical Physics Problems참고 문헌 22인용 수 32

한 줄 요약

이 논문은 1차원 입자형 비선형 슈뢰딩거 방정식에서 쌍곡선파, 덴oidal파, 에스노이dal파의 변분적 특성을 제공하며, 동일 주기의 외란에 대해 에너지 최소화를 통한 궤도 안정성을 증명한다. 적분 가능성에 의존하지 않고 쌍곡선파와 에스노이idal파의 스펙트럼 안정성을 확립하고, 장파장 외란에 대한 쌍곡선파의 선형 불안정성을 유도하며, 질량과 운동량 제약 조건 하에서 에너지 최소화자를 계산하기 위한 수치적 기울기 유동 방법을 개발하였으며, 수치 실험으로 결과를 확인하였다.

ABSTRACT

We study the stability of the cnoidal, dnoidal and snoidal elliptic functions as spatially-periodic standing wave solutions of the 1D cubic nonlinear Schr{\\"o}dinger equations. First, we give global variational characterizations of each of these periodic waves, which in particular provide alternate proofs of their orbital stability with respect to same-period perturbations, restricted to certain subspaces. Second, we prove the spectral stability of the cnoidal waves against same-period perturbations (in a certain parameter range), and provide an alternate proof of this (known) fact for the snoidal waves, which does not rely on complete integrability. Third, we give a rigorous version of a formal asymptotic calculation of Rowlands to establish the instability of a class of real-valued periodic waves in 1D, which includes the cnoidal waves of the 1D cubic focusing nonlinear Schr{\\"o}dinger equation, against perturbations with period a large multiple of their fundamental period. Finally, we develop a numerical method to compute the minimizers of the energy with fixed mass and momentum constraints. Numerical experiments support and complete our analytical results.

연구 동기 및 목표

• 주기적 및 반역주기 함수 공간에서 질량과 운동량 제약 조건 하에서 에너지의 전역 변분적 특성화를 통해 쌍곡선파, 덴oidal파, 에스노이idal파를 최소화자로 특성화하는 것.
• 완전한 적분 가능성에 의존하지 않고, 동일 주기의 외란에 대해 이 주기적 파동의 궤도 안정성을 변분 방법을 통해 증명하는 것.
• 특정 매개변수 범위에서 쌍곡선파와 에스노이idal파의 스펙트럼 안정성을 분석하여, 적분 가능성 기반 증명 외의 대안을 제공하는 것.
• 로우랜즈의 형식적 계산을 확장하여, 기본 주기의 큰 배수인 주기의 외란 하에서 쌍곡선파의 선형 불안정성을 엄밀히 확인하는 것.
• 주기적 및 반역주기 제약 조건 하에서 에너지 최소화자를 계산하기 위한 수치적 기울기 유동 방법을 개발하고 검증하는 것.

제안 방법

• 주기적 및 반역주기 함수 공간에서 에너지 최소화 문제를 설정하여 주기적 파동 해를 특성화하는 것.
• H^1 기반 함수 공간에서의 제약 최소화를 통해 쌍곡선파, 덴oidal파, 에스노이idal파의 변분적 특성을 도출하는 것.
• 주기적 파동 프로파일 주변의 선형화된 연산자 L_+와 L_-에 대한 스펙트럼 분석을 적용하여 스펙트럼 안정성을 평가하는 것.
• 질량과 운동량 제약 조건을 유지하기 위해 이산 정규화를 적용한 반-암시적 기울기 유동 스킴을 구현하는 것.
• 유한 차분을 사용하여 PDE를 이산화하고, 반역주기 최소화 문제에서의 반역주기 조건을 강제하기 위해 투영 단계를 적용하는 것.
• 수치적 연속법과 수렴 모니터링을 사용하여 이론적 예측을 검증하며, 예를 들어 dn, cn, sn 및 평면파와 같은 기대되는 최소화자를 수렴하는지 확인하는 것.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 쌍곡선파, 덴oidal파, 에스노이idal파는 고정된 질량과 운동량 제약 조건 하에서 에너지의 전역 최소화자로 특성화될 수 있는가?
• RQ2 쌍곡선파와 에스노이idal파는 동일 주기의 외란에 대해 스펙트럼적으로 안정한가? 그리고 이는 적분 가능성에 의존하지 않고 증명될 수 있는가?
• RQ3 로우랜즈의 점근적 분석이 시사하는 lin-ear 불안정성은, 기본 주기의 큰 배수인 주기의 외란 하에서 쌍곡선파에 대해 엄밀히 확립되었는가?
• RQ4 제약 조건 하에서의 에너지 최소화 수치 시뮬레이션은 주기적 및 반역주기 설정에서 분석적 예측과 어떻게 비교되는가?
• RQ5 다양한 질량과 운동량 제약 조건 하에서 수치적 방법이 기대되는 최소화자(예: 비집중성 반역주기 케이스에서의 sn)로 수렴하는가?

주요 결과

• 쌍곡선파, 덴oidal파, 에스노이idal파는 주기적 및 반역주기 함수 공간에서 고정된 질량과 운동량 제약 조건 하에서 에너지의 전역 최소화자로 특성화된다.
• 이 파동의 동일 주기 외란에 대한 궤도 안정성은 변분 방법을 통해 확립되었으며, 제한된 외란에 대한 알려진 안정성과 일치하는 결과를 얻었다.
• 특정 매개변수 범위에서 쌍곡선파와 에스노이idal파의 스펙트럼 안정성이 증명되었으며, 이는 적분 가능성에 기반하지 않는 안정성 증명의 대안을 제공한다.
• 기본 주기의 큰 배수인 주기의 외란 하에서 쌍곡선파의 선형 불안정성이 엄밀히 확인되었으며, 이는 로우랜즈의 형식적 계산을 검증한다.
• 수치 실험 결과 기대되는 최소화자로 수렴하는 것으로 나타났다: 집중성 주기적 케이스에서의 dn, 집중성 반역주기 케이스에서의 cn, 비집중성 반역주기 케이스에서의 sn(운동량이 0일 경우).
• 비집중성 반역주기 케이스에서 운동량이 0일 경우, 수치 결과는 질량 제약 조건 하에서만 에너지가 최소화되는 것과 일치하는 추측을 지지한다. 이는 운동량 제약 조건이 없을 경우에도 성립한다.